Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан республикалық олимпиада, 2016-2017 оқу жылы, 9 сынып


Теңбүйірлі емес ABC үшбұрышы центрі O болатын ω шеңберіне іштей сызылған. Үшбұрыштың CN биссектрисасы ω-ны екінші рет M нүктесінде қисын. MKBCM үшбұрышының биіктігі, P нүктесі — CM кесіндісінің ортасы, ал QOP мен AB түзулерінің қиылысу нүктесі. MQ түзуі ω-ны екінші рет R нүктесінде қисын, ал BR мен MK түзулері T нүктесінде қиылыссын. NTPK екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Рассмотрим случай, когда AC>BC. Остальные случаи разбираются аналогично. Прямоугольные треугольники OPM и BKM подобны, так как POM=CAM=KBM. В треугольнике OMQ точка N является его точкой пересечения высот. Поэтому PON=NMQ=CBR=TBK, то есть ON и BT являются соответствующими в этих подобных треугольниках OPM и BKM. Следовательно, MN/NP=MT/TK или NTPK.

пред. Правка 3   16
8 месяца 15 дней назад #

(Респа Камп, 2024 - Февраль 8) Пусть CA<CB и S такая точка на прямой CB, что SMK=CMQ, тогда треугольники MPQ и MKS подобны. CMQ=CBR=SMK, значит BTMS вписанный. KST=BMT=90KBM=PQN, откуда N и T соответствующие точки в подобных треугольниках MPQ и MKS, а значит MNNP=MTTK ч.т.д.

  1
1 года 1 месяца назад #

Балама дәлелдеуі:

1) NTPK болсын деп ұйғарайық. CP=MP=KP, ендеше KPC әрі KPM тең бүйірлі болады.

2) Белгілеу еңгізейік MCK=α, олай болса KPC=1802α, KPM=2α, ал PMK=PKM=90α.

3) Ұйғарым бойынша NTPK, демек MNT да тең бүйірлі, яғни MNT мен MPK ұқсас болады, ендеше NMT=NTM=90α және MNT=2α. Сонымен, жасалған ұйғарым дұрыс екен, яғни NTPK д.к.о.е.