XVI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2021 год

Задача №1. Дана последовательность

$s$ , состоящая из нулей и единиц. Для каждого натурального

$k$ определим

$v_k$ как наибольшее количество способов, которыми в какой-нибудь последовательности длины

$k$ могут быть выделены несколько последовательных цифр, образующих последовательность

$s$ . (Например, если

$s=0110$ , то

$v_7=v_8=2$ , так как в последовательностях 0110110 и 01101100 найти подряд стоящие цифры 0110 можно в двух местах, а три пары единиц, обрамленных нулями, не могут встретиться в последовательности длины 7 или 8.) Известно, что

$v_n < v_{n+1} < v_{n+2}$ для некоторого натурального

$n$ . Докажите, что в последовательности

$s$ все цифры одинаковы. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Для каждого натурального

$m$ докажите неравенство

$|\{\sqrt{m}\}-\frac{1}{2}|>\dfrac{1}{8(\sqrt{m}+1)}$ . (Целой частью

$[x]$ числа

$x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ . Дробной частью числа

$x$ называется такое число

$\{x\}$ , что

$[x] + \{x\} = x$ .) ( А. Голованов )
комментарий/решение(7)

Задача №3. В треугольнике

$ABC$ , точка

$M$ — середина стороны

$AB$ . На отрезке

$AC$ отмечена точка

$B_1$ такая, что

$CB = CB_1$ . Окружности

$\omega$ и

$\omega_1$ , описанные около треугольников

$ABC$ и

$BMB_1$ , соответственно, пересекаются во второй раз в точке

$K$ . Точка

$Q$ — середина дуги

$ACB$ окружности

$\omega$ . Прямые

$B_1Q$ и

$BC$ пересекаются в точке

$E$ . Докажите, что прямая

$KC$ делит отрезок

$B_1E$ пополам. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Задача №4. Целые числа

$x$ ,

$y$ ,

$z$ ,

$t$ удовлетворяют условиям

$x^2+y^2=z^2+t^2$ ,

$xy=2zt$ . Докажите, что

$xyzt=0$ . ( М. Абдувалиев )
комментарий/решение(1)

результаты