XVI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2021 год

В треугольнике $ABC$, точка $M$ — середина стороны $AB$. На отрезке $AC$ отмечена точка $B_1$ такая, что $CB = CB_1$. Окружности $\omega$ и $\omega_1$, описанные около треугольников $ABC$ и $BMB_1$, соответственно, пересекаются во второй раз в точке $K$. Точка $Q$ — середина дуги $ACB$ окружности $\omega$. Прямые $B_1Q$ и $BC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что прямая $KC$ делит отрезок $B_1E$ пополам. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Решение: Так как $ABCK$ и $BMB_1K$ вписанные, то

$$\angle ABK = \angle ACK,\ \angle BAK = \angle KCE,\ \angle BB_1M = \angle BKM .$$

Посчитав углы, легко понять, что $BQ$ и $AQ$ касательные к $(AB_1B),$ откуда $B_1E$ и $B_1M$ изогонально сопряжены относительно $\angle AB_1B,$ т.е.

$$\angle BB_1M=\angle CB_1E.$$

Пусть точка $K_1$ симметрична $K$ относительно $M$, тогда

$$\angle K_1AM = \angle B_1CK,\ \ \angle KAM=\angle ECK,$$

$$\text{а так же}\ \ \angle AK_1M = \angle CB_1E.$$

Тогда $\triangle KAK_1\sim \triangle ECB_1,$ а так же $AM$ и $CK$ являются соответствующими чевианами в этих подобных треугольниках, но $AM$ медиана $\triangle KAK_1,$ поэтому $CK$ медиана в $ECB_1,$ ч.т.д. $\blacksquare$

Легко понять, что треугольники $BQA$ и треугольник $BCB_1$ подобны, из этого следует равенство углов $CBQ$ и $ABK$, так как четырехугольник $BCQA$ вписанный, то угол $CBQ$ равен углу $CAQ$, то $AQ$ касательная к (BB_1A), также нетрудно понять, что $BQ$ тоже касательная, то из свойства симедиана, можно понять, что $B_1Q$ симедиана треугольника $BB_1A$ из этого следует равенство углов $CB_1Q$ и $BKM$

Давайте проведем параллель к $B_1Q$ через $С$ и пусть она пересекает окружность описанную около ABC, в точке $F$, также заметно равенство следующих углов $QB_1C$ $FCB_1$ $FKA$, то четырехугольник $BKAF$, гармонический, и проецирование через точку $С$, завершает доказательство

Браво! Очень красиво!