қазақша
русскийXVI математическая олимпиада «Шелковый путь», 2021 год
Задача №1. Дана последовательность $s$, состоящая из нулей и единиц. Для каждого натурального $k$ определим $v_k$ как наибольшее количество способов, которыми в какой-нибудь последовательности длины $k$ могут быть выделены несколько последовательных цифр, образующих последовательность $s$. (Например, если $s=0110$, то $v_7=v_8=2$, так как в последовательностях 0110110 и 01101100 найти подряд стоящие цифры 0110 можно в двух местах, а три пары единиц, обрамленных нулями, не могут встретиться в последовательности длины 7 или 8.) Известно, что $v_n < v_{n+1} < v_{n+2}$ для некоторого натурального $n$. Докажите, что в последовательности $s$ все цифры одинаковы.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Для каждого натурального $m$ докажите неравенство $|\{\sqrt{m}\}-\frac{1}{2}|>\dfrac{1}{8(\sqrt{m}+1)}$. (Целой частью $[x]$ числа $x$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Дробной частью числа $x$ называется такое число $\{x\}$, что $[x] + \{x\} = x$.)
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(7)
комментарий/решение(7)
Задача №3. В треугольнике $ABC$, точка $M$ — середина стороны $AB$. На отрезке $AC$ отмечена точка $B_1$ такая, что $CB = CB_1$. Окружности $\omega$ и $\omega_1$, описанные около треугольников $ABC$ и $BMB_1$, соответственно, пересекаются во второй раз в точке $K$. Точка $Q$ — середина дуги $ACB$ окружности $\omega$. Прямые $B_1Q$ и $BC$ пересекаются в точке $E$. Докажите, что прямая $KC$ делит отрезок $B_1E$ пополам.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Целые числа $x$, $y$, $z$, $t$ удовлетворяют условиям $x^2+y^2=z^2+t^2$, $xy=2zt$. Докажите, что $xyzt=0$.
(
М. Абдувалиев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)