20-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2021 жыл

Есеп №1. 0 және 1 цифрларынан құралған

$s$ тізбегі берілген. Кез келген натурал

$k$ саны үшін

$v_k$ арқылы ұзындығы

$k$ -ға тең қандай да бір тізбектің қатар келген цифрларынан

$s$ тізбегін бөліп алудың ең үлкен тәсіл санын белгілейік. (Мысалға, егер

$s=0110$ болса, онда

$v_7$ және

$v_8$ сандарының ең үлкен мәні

$v_7=v_8=2$ -ге тең, өйткені 0110110 және 01101100 тізбектерінде қатар келген цифрлардан 0110 тізбегін тек екі жерде ғана табуға болады, бірақ ұзындығы 7 және 8-ге тең ешқандай тізбекте осындай 0110 тізбегі үш жерде кездесе алмайды.) Егер қандай да бір натурал

$n$ саны үшін

$v_n < v_{n+1} < v_{n+2}$ теңсіздіктері орындалса, онда

$s$ тізбегі тек бірдей цифрлардан құралғанын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген натурал

$m$ саны үшін

$|\{\sqrt{m}\}-\frac{1}{2}|>\frac{1}{8(\sqrt{m}+1)}$ теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңіз. (

$x$ санының бүтін

$[x]$ бөлігі деп,

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды, ал бөлшек

$\{x\}$ бөлігі деп

$\{x\} = x-[x]$ санын айтамыз.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(7)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$AB$ қабырғасының ортасы.

$AC$ кесіндісінде

$CB=CB_1$ болатындай

$B_1$ нүктесі белгіленген.

$ABC$ және

$BMB_1$ үшбұрыштарына сырттай сызылған сәйкесінше

$\omega$ және

$\omega_1$ шеңберлері екінші рет

$K$ нүктесінде қиылысады.

$Q$ нүктесі —

$\omega$ шеңберіндегі

$ACB$ доғаның ортасы.

$B_1Q$ және

$BC$ түзулері

$E$ нүктесінде қиылысады.

$KC$ түзуінің

$B_1E$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Бүтін

$x$ ,

$y$ ,

$z$ ,

$t$ сандары үшін

$x^2+y^2=z^2+t^2$ ,

$xy=2zt$ теңдіктері орындалады.

$xyzt=0$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Абдувалиев )
комментарий/решение(1)

результаты