20-шы «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2021 жыл

Есеп №1. 0 және 1 цифрларынан құралған $s$ тізбегі берілген. Кез келген натурал $k$ саны үшін $v_k$ арқылы ұзындығы $k$-ға тең қандай да бір тізбектің қатар келген цифрларынан $s$ тізбегін бөліп алудың ең үлкен тәсіл санын белгілейік. (Мысалға, егер $s=0110$ болса, онда $v_7$ және $v_8$ сандарының ең үлкен мәні $v_7=v_8=2$-ге тең, өйткені 0110110 және 01101100 тізбектерінде қатар келген цифрлардан 0110 тізбегін тек екі жерде ғана табуға болады, бірақ ұзындығы 7 және 8-ге тең ешқандай тізбекте осындай 0110 тізбегі үш жерде кездесе алмайды.) Егер қандай да бір натурал $n$ саны үшін $v_n < v_{n+1} < v_{n+2}$ теңсіздіктері орындалса, онда $s$ тізбегі тек бірдей цифрлардан құралғанын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Кез келген натурал $m$ саны үшін $|\{\sqrt{m}\}-\frac{1}{2}|>\frac{1}{8(\sqrt{m}+1)}$ теңсіздігінің орындалатынын дәлелдеңіз. ($x$ санының бүтін $[x]$ бөлігі деп, $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін санды, ал бөлшек $\{x\}$ бөлігі деп $\{x\} = x-[x]$ санын айтамыз.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(7)

---

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $AB$ қабырғасының ортасы. $AC$ кесіндісінде $CB=CB_1$ болатындай $B_1$ нүктесі белгіленген. $ABC$ және $BMB_1$ үшбұрыштарына сырттай сызылған сәйкесінше $\omega$ және $\omega_1$ шеңберлері екінші рет $K$ нүктесінде қиылысады. $Q$ нүктесі — $\omega$ шеңберіндегі $ACB$ доғаның ортасы. $B_1Q$ және $BC$ түзулері $E$ нүктесінде қиылысады. $KC$ түзуінің $B_1E$ кесіндісін қақ бөлетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

---

Есеп №4. Бүтін $x$, $y$, $z$, $t$ сандары үшін $x^2+y^2=z^2+t^2$, $xy=2zt$ теңдіктері орындалады. $xyzt=0$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Абдувалиев )
комментарий/решение(1)

---