Processing math: 100%

19-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2023 год


Касательная в точке C к окружности Ω, описанной около неравнобедренного треугольника ABC, пересекает прямую AB в точке D. Через точку D проведена прямая, пересекающая отрезки AC и BC в точках K и L соответственно. На отрезке AB отметили точки M и N так, что ACNL и BCKM. Пусть NL и KM пересеклись в точке P, лежащей внутри треугольника ABC. Прямая CP во второй раз пересекает окружность ω, описанную около треугольника MNP, в точке Q. Докажите, что прямая DQ касается ω. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
2 месяца 27 дней назад #

Заметим что NBC=NMP=NQP значит (QNCB) аналогино (QMCA)

По теореме Фалеса:

DADN=DKDL=DMDB отсюда DADB=DNDM (i)

Понятно что DNDM=DADB=DC2 отсюда DCN=DMC

Заметим что DCA+NCA=DCN=DMC=MCB+DBC

учитывая DCA=DBC получаем NCA=MCB

Не сложным счетом углов можно понять что AQN=BQM учитывая это также не сложно убедится что (AQB) и (NQM) касаются и их радикальная ось это касательная в точке Q  но из (i) мы знаем что у D одинаковая степень точки относительно этих окружностей значит их радикальная ось пройдет через D.

пред. Правка 2   1
2 года 2 месяца назад #

Заметка 1: DADB=DNDM

Доказано выше

Инверсия в точке D оставляет обе окружности на месте. Заметим, что если докажем вписанность DCQP, где P образ точки P, то прямая CP перейдет в эту окружность, (MNP) остаётся на месте, то и точка Q остаётся на месте, что делает ее точкой касания.

Заметим, что P пересечение (MNP) и CP. Несложно также заметить, что вписанность DCPN, где N пересечение CA и PN доказывает задачу. Угол NPD=NMP=MBC=NCD Чтд

пред. Правка 2   6
2 года 2 месяца назад #

Пусть CPΩ=T, тогда из параллельностей легко получить, что четырехугольники PNQM и CATB гомотетичны. (D,CPAB,N,M)P=(D,CPKL,L,K)C=(C,T,B,A)=(P,Q,M,N)=(Q,P,N,M). Проецируя с точки Q на прямую AB , получаем, что DQ касается ω

  0
6 месяца назад #

Очевидно (QNCB) и (QMCA) доказано Bismir7

По теореме Дезарга для треугольников LCK и MQN:

D,E,F лежат на одной линии

где NQBC = F, MQAC = E, MNLK = D

Так как (QNCB) FQFN=FBFC аналогично для (QMCA) DEF радикальная ось окружностей ω и Ω

дальше легкий счет углов.