19-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2023 год
Комментарий/решение:
Заметим что ∠NBC=∠NMP=∠NQP значит (QNCB) аналогино (QMCA)
По теореме Фалеса:
DADN=DKDL=DMDB отсюда DA∗DB=DN∗DM (i)
Понятно что DN∗DM=DA∗DB=DC2 отсюда ∠DCN=∠DMC
Заметим что ∠DCA+∠NCA=∠DCN=∠DMC=∠MCB+∠DBC
учитывая ∠DCA=∠DBC получаем ∠NCA=∠MCB
Не сложным счетом углов можно понять что ∠AQN=∠BQM учитывая это также не сложно убедится что (AQB) и (NQM) касаются и их радикальная ось это касательная в точке Q но из (i) мы знаем что у D одинаковая степень точки относительно этих окружностей значит их радикальная ось пройдет через D.
Заметка 1: DA∗DB=DN∗DM
Доказано выше
Инверсия в точке D оставляет обе окружности на месте. Заметим, что если докажем вписанность DCQP′, где P′− образ точки P, то прямая CP перейдет в эту окружность, (MNP) остаётся на месте, то и точка Q остаётся на месте, что делает ее точкой касания.
Заметим, что P′− пересечение (MNP) и CP. Несложно также заметить, что вписанность DCP′N′, где N′ пересечение CA и P′N доказывает задачу. Угол N′P′D=NMP=MBC=N′CD Чтд
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.