Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Из того, что точки A, X, Z и D лежат на одной окружности, а A, B, X и Y на другой, следует, что ∠AYB=∠AXB=180∘−∠AXD=180∘−∠AZD=∠DZC. Так как отрезки AB и CD равны и параллельны, то ∠BAY=∠DCZ. Следовательно, треугольники ABY и CDZ равны по стороне и прилежащим углам, откуда AY=CZ.
Аналогично опишем окружность ω около треугольника BYC и пусть G∈ω∩BD. Так как ∠AXZ=180∘−∠XAY−(180∘−∠ADB)=∠ADB−∠XAY так же ∠YGC=∠YBC=∠DBC−∠XBY=∠ADB−∠XAY и ∠YCG=∠GBY=∠XBY=∠XAY тогда ∠GCB=∠DAX то есть ΔGCB=ΔADX равны по углам и равным сторонам AD=BC, откуда ΔAZX=ΔCGY то есть AZ=CY учитывая что ABCD-параллелограмм, получаем ZO=YO откуда AY=CZ.
Возьмём, что YBX=x, AYB=y, DBA=z и точки P и Q являются точками пересечения прямых DZ и AX, и BX и ZY соответсвенно.
Заметим, что YBX=XAY=XDZ=x и BYA=BXA=y, так как четырехугольники AXYB и ADXZ - вписанные. Откуда следует, что DZY=360 - (XPZ+PXB+XQZ)=y. Заметим, что ABCD параллелограм, откуда следует, что CD=AB и DBA=CDB=z. Отсюда DCZ=YAB, по одной стороне и двум углам откуда следует, что AY=CZ.
OB=OD=> OX*OB=OX*OD.
OX*OB=OY*OA, так как ABXY вписанный ; OX*OD=OZ*OA, так как AXZD вписанный. Значит, OY*OA=OZ*OA => OY=OZ => AY=CZ.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.