Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс


Дан параллелограмм ABCD. Некоторая окружность проходит через точки A и B и пересекает отрезки BD и AC во второй раз соответственно в точках X и Y, а описанная окружность треугольника ADX пересекает отрезок AC во второй раз в точке Z. Докажите, что отрезки AY и CZ равны. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Из того, что точки A, X, Z и D лежат на одной окружности, а A, B, X и Y на другой, следует, что AYB=AXB=180AXD=180AZD=DZC. Так как отрезки AB и CD равны и параллельны, то BAY=DCZ. Следовательно, треугольники ABY и CDZ равны по стороне и прилежащим углам, откуда AY=CZ.

  -1
7 года 1 месяца назад #

Аналогично опишем окружность ω около треугольника BYC и пусть GωBD. Так как AXZ=180XAY(180ADB)=ADBXAY так же YGC=YBC=DBCXBY=ADBXAY и YCG=GBY=XBY=XAY тогда GCB=DAX то есть ΔGCB=ΔADX равны по углам и равным сторонам AD=BC, откуда ΔAZX=ΔCGY то есть AZ=CY учитывая что ABCD-параллелограмм, получаем ZO=YO откуда AY=CZ.

пред. Правка 2   1
7 года 1 месяца назад #

пред. Правка 2   0
7 года 1 месяца назад #

Возьмём, что YBX=x, AYB=y, DBA=z и точки P и Q являются точками пересечения прямых DZ и AX, и BX и ZY соответсвенно.

Заметим, что YBX=XAY=XDZ=x и BYA=BXA=y, так как четырехугольники AXYB и ADXZ - вписанные. Откуда следует, что DZY=360 - (XPZ+PXB+XQZ)=y. Заметим, что ABCD параллелограм, откуда следует, что CD=AB и DBA=CDB=z. Отсюда DCZ=YAB, по одной стороне и двум углам откуда следует, что AY=CZ.

  2
5 года 3 месяца назад #

OB=OD=> OX*OB=OX*OD.

OX*OB=OY*OA, так как ABXY вписанный ; OX*OD=OZ*OA, так как AXZD вписанный. Значит, OY*OA=OZ*OA => OY=OZ => AY=CZ.