Республиканская олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс

Задача №1. Дан параллелограмм

$ABCD$ . Некоторая окружность проходит через точки

$A$ и

$B$ и пересекает отрезки

$BD$ и

$AC$ во второй раз соответственно в точках

$X$ и

$Y$ , а описанная окружность треугольника

$ADX$ пересекает отрезок

$AC$ во второй раз в точке

$Z$ . Докажите, что отрезки

$AY$ и

$CZ$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)

Задача №2. Известно, что

$a$ ,

$b$ и

$c$ — длины сторон треугольника. Докажите, что

$\frac{\left(a+b+c\right)(c+a-b)}{\left(a+b-c\right)(b+c-a)}\geq\frac{9(3a-5b+3c)}{3a+5b-3c}.$ ( М. Кабак )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Дополненная десятичная запись натурального числа

$n$ — это представление его в виде суммы степеней числа 10 с целыми неотрицательными показателями, в котором каждое слагаемое повторяется не более 10 раз. Сколько различных дополненных десятичных записей у числа

$n=2018 \, 2018 \, 2018 \dots 2018$ (число 2018 выписано 100 раз, то есть

$n$ является 400-значным числом)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Можно ли разрезать прямоугольник размером

$2018\times 2019$ на фигурки вида уголка из 5 клеток (фигура, полученная вырезанием квадрата

$2 \times 2$ из квадрата

$3 \times 3$ ) и квадратика

$2 \times 2$ (фигурки можно поворачивать и переворачивать)? ( А. Голованов )
комментарий/решение(6)

Задача №5. Решите в целых числах уравнение

$2^a+a^2=4^b+b^2$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(4)

Задача №6. На боковой стороне

$CD$ трапеции

$ABCD$ нашлась точка

$M$ такая, что

$BM=BC$ . Пусть прямые

$BM$ и

$AC$ пересекаются в точке

$K$ , а прямые

$DK$ и

$BC$ — в точке

$L$ . Докажите, что углы

$BML$ и

$DAM$ равны. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(3)

результаты