қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2018 год, 9 класс
Задача №1. Дан параллелограмм $ABCD$. Некоторая окружность проходит через точки $A$ и $B$ и пересекает отрезки $BD$ и $AC$ во второй раз соответственно в точках $X$ и $Y$, а описанная окружность треугольника $ADX$ пересекает отрезок $AC$ во второй раз в точке $Z$. Докажите, что отрезки $AY$ и $CZ$ равны.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №2. Известно, что $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника. Докажите, что $\frac{\left(a+b+c\right)(c+a-b)}{\left(a+b-c\right)(b+c-a)}\geq\frac{9(3a-5b+3c)}{3a+5b-3c}.$
(
М. Кабак
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Дополненная десятичная запись натурального числа $n$ — это
представление его в виде суммы степеней числа 10 с целыми неотрицательными
показателями, в котором каждое слагаемое повторяется не более 10 раз. Сколько различных дополненных десятичных записей у числа $n=2018 \, 2018 \, 2018 \dots 2018$ (число 2018 выписано 100 раз, то есть $n$ является 400-значным числом)?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Можно ли разрезать прямоугольник размером $2018\times 2019$ на фигурки вида уголка из 5 клеток (фигура, полученная вырезанием квадрата $2 \times 2$ из квадрата $3 \times 3$) и квадратика $2 \times 2$ (фигурки можно поворачивать и переворачивать)?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)
Задача №5. Решите в целых числах уравнение $2^a+a^2=4^b+b^2$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №6. На боковой стороне $CD$ трапеции $ABCD$ нашлась точка $M$ такая, что $BM=BC$. Пусть прямые $BM$ и $AC$ пересекаются в точке $K$, а прямые $DK$ и $BC$ — в точке $L$. Докажите, что углы $BML$ и $DAM$ равны.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)