Решения: Республиканская олимпиада, Заключительный этап

Республиканская олимпиада по математике, 2017 год, 9 класс

На сторонах треугольника

$ABC$ во внешнюю сторону построены прямоугольники равных площадей

$ABLK$ ,

$BCNM$ и

$CAQP$ . Пусть

$X$ ,

$Y$ и

$Z$ середины отрезков

$KQ$ ,

$LM$ и

$NP$ соответственно. Докажите, что прямые

$AX$ ,

$BY$ и

$CZ$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Пусть стороны треугольника $ABC$ имеют фиксированные стороны. Заметим, что если не фиксированные стороны прямоугольников увеличивать пропорционально, то прямые $AX,BY$ и $CZ$ будут постоянными. Следовательно, эти прямые проходят через какую-то фиксированную точку треугольника. Пусть точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$ . Докажем, что $O$ — искомая точка.

Обозначим

$D=CP \cap BL$ . Тогда точки

$A,B,C,D$ лежат на одной окружности с диаметром

$AD$ ; также на этом диаметре лежит точка

$O$ . Пусть

$X_1=AD \cap KQ$ . Так как

$\angle CAD = \angle CBD$ и

$\angle CAD + \angle QAX_1= \angle CBD + \angle ABC = 90^\circ,$ то

$\angle QAX_1=\angle ABC$ . Аналогично,

$\angle KAX_1 = \angle ACB$ . Пусть прямоугольники имеют площадь

$S$ . Тогда,

$\frac{QX_1}{KX_1}=\frac{AQ}{AK} \cdot \frac{\sin QAX_1}{\sin KAX_1} = \frac{S/AC}{S/AB} \cdot \frac{\sin ABC}{\sin ACB} =\frac{AB}{AC} \cdot \frac{AC}{AB}=1,$ то есть

$X_1$ — середина отрезка

$QK$ или

$X_1$ совпадает с

$X$ . Следовательно, прямая

$AX$ проходит через точку

$O$ . Аналогичное утверждение можно доказать для прямых

$BY$ и

$CZ$ .

ImaRHB

6 месяца 11 дней назад #

Лемма:

На сторонах $AB,AC$ треугольника $ABC$ построены квадраты $ABPX$ и $ACQY$ . Тогда верно, что высота $\triangle ABC$ в точке $A$ является медианой $\triangle AXY$ .

Построим из задачи прямоугольники с площадью $S=AB\cdot AC$ . Тогда верно, что $ACPQ$ и $ABLK$ отличаются поворотом. Треугольник из леммы отличается от треугольника $AKQ$ симметрией относительно общей биссектрисы $\angle BAC$ и $\angle QAK$ . Поэтому $AX$ - изогональ к высоте $\triangle ABC$ в точке $A$ . Поэтому задача решена, так как линейное движение точек прямоугольника линейно передвигает и точки $X,Y,Z$ .

ImaRHB