XVII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2022 год

Задача №1. В окружность

$\omega$ вписан выпуклый четырехугольник

$ABCD$ . Лучи

$AB$ и

$DC$ пересекаются в точке

$K$ . На диагонали

$BD$ отмечена точка

$L$ так, что

$\angle BAC = \angle DAL$ . На отрезке

$KL$ отметили точку

$M$ так, что

$CM \parallel BD$ . Докажите, что прямая

$BM$ касается окружности

$\omega$ . ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)

Задача №2. Даны два различных натуральных числа

$A$ и

$B$ . Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, представимых и в виде

$x_1^2+Ay_1^2$ со взаимно простыми

$x_1$ и

$y_1$ , и в виде

$x_2^2+ By_2^2$ со взаимно простыми

$x_2$ и

$y_2$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(3)

Задача №3. В бесконечной последовательности

$\{\alpha\}$ ,

$\{\alpha^2\}$ ,

$\{\alpha^3\}$ ,

$\ldots$ встречается только конечное количество разных чисел. Докажите, что

$\alpha$ — целое число. (Дробной частью числа

$x$ называется такое число

$\{x\}$ , что

$\{x\} = x-[x]$ , где

$[x]$ это наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ .) ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. В письменности используется 25-буквенный алфавит, а словами являются в точности все 17-буквенные последовательности. На полоске, склеенной в кольцо, написана последовательность из

$5^{18}$ букв алфавита. Назовём слово уникальным, если из полоски можно вырезать участок, содержащий это слово, но нельзя вырезать два таких непересекающихся участка. Известно, что из полоски можно вырезать

$5^{16}$ непересекающихся копий какого-то слова. Найдите наибольшее возможное количество уникальных слов. ( И. Богданов )
комментарий/решение(3)

результаты