XVII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2022 год

Задача №1.  В окружность $\omega$ вписан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $K$. На диагонали $BD$ отмечена точка $L$ так, что $\angle BAC = \angle DAL$. На отрезке $KL$ отметили точку $M$ так, что $CM \parallel BD$. Докажите, что прямая $BM$ касается окружности $\omega$. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(5)

---

Задача №2.  Даны два различных натуральных числа $A$ и $B$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, представимых и в виде $x_1^2+Ay_1^2$ со взаимно простыми $x_1$ и $y_1$, и в виде $x_2^2+ By_2^2$ со взаимно простыми $x_2$ и $y_2$. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  В бесконечной последовательности $\{\alpha\}$, $\{\alpha^2\}$, $\{\alpha^3\}$, $\ldots$ встречается только конечное количество разных чисел. Докажите, что $\alpha$ — целое число. (Дробной частью числа $x$ называется такое число $\{x\}$, что $\{x\} = x-[x]$, где $[x]$ это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В письменности используется 25-буквенный алфавит, а словами являются в точности все 17-буквенные последовательности. На полоске, склеенной в кольцо, написана последовательность из $5^{18}$ букв алфавита. Назовём слово уникальным, если из полоски можно вырезать участок, содержащий это слово, но нельзя вырезать два таких непересекающихся участка. Известно, что из полоски можно вырезать $5^{16}$ непересекающихся копий какого-то слова. Найдите наибольшее возможное количество уникальных слов. ( И. Богданов )
комментарий/решение(3)

---