XVII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2022 год

Даны два различных натуральных числа $A$ и $B$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, представимых и в виде $x_1^2+Ay_1^2$ со взаимно простыми $x_1$ и $y_1$, и в виде $x_2^2+ By_2^2$ со взаимно простыми $x_2$ и $y_2$. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Допускаете, что $y_1=y_2$ и дальше легко.

$\textbf{Теорема:}$ Пусть $d$ натуральное число не являющийся квадратом. Тогда уравнения $a^2-db^2=1$ имеет бесконечно много решений в натуральных ${a;b}$.

$\bullet$ Cвойства: $(a,b)=1.$

$\textbf{Факт 1:}$ $( 2m(m+1),2m+1 )=1 , $ где $m \in N$.

$\textbf{Факт 2:}$ $(2(m^2+m)+1, 2m+1)=1$ где $m \in N$.

Факты очевидные если, что докажите сами.

Возьмём $y_1=y_2=y$.

Б.О.О $A>B.$

$x_1^{2}+Ay^2=x_2^{2}+By^2\Leftrightarrow (A-B)y^2=x_2^{2}-x_1^{2}. $ Теперь докажем что , это уравнение имеет бесконечно много решений для любых различных $A,B.$

Рассмотрим два случая: $A-B=c^2$ и $A-B \neq c^2 $ где $c \in N.$

$\textbf{(i):}$ $A-B \neq c^2. $ Пусть $A-B=k \Rightarrow ky^2=x_2^{2}-x_1^{2}\Leftrightarrow x_1^{2}=x_2^{2}-ky^2 $ Пусть $x_1=1 \Rightarrow x_2^{2}-ky^2=1$ из $\textbf{Теоремы}$ мы имеем бесконечно много решений в $x_1; x_2; y $ где $x_1=1$ и из свойств $(x_2, y)=1$ и также $(1,y)=1.$ $ \square$

$\textbf{(ii):} A-B=c^2$$\Rightarrow c^2y^2=x_2^{2}-x_1^{2} .$ Пусть $y=2m+1 \geq 3, $ нечетное натуральное число, такое , что $(y,c)=1$

Пусть тогда $$x_1=2m(m+1)c , $$ $$x_2=((m+1)^2+m^2)c=(2(m^2+m)+1)c , $$ $$y=(m+1)^2-m^2=2m+1 \Rightarrow yc=c((m+1)^2-m^2)=c(2m+1)$$.

Теперь заметим, что $y$$c$$;x_1;x_2$ Примитивная пифагорная тройка, также из $\textbf{Факт 1}$ и $\textbf{Факт 2}$ и из $(y,c)=1$ выходит, что $(x_1,y)=1, (x_2,y)=1.$

Значит для любой $m$ такое, что $(2m+1,c)=1$ удовлетворяет условия, но также таких бесконечно много. $\square$