21-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2022 жыл
Комментарий/решение:
Теорема: Пусть d натуральное число не являющийся квадратом. Тогда уравнения a2−db2=1 имеет бесконечно много решений в натуральных a;b.
∙ Cвойства: (a,b)=1.
Факт 1: (2m(m+1),2m+1)=1, где m∈N.
Факт 2: (2(m2+m)+1,2m+1)=1 где m∈N.
Факты очевидные если, что докажите сами.
Возьмём y1=y2=y.
Б.О.О A>B.
x21+Ay2=x22+By2⇔(A−B)y2=x22−x21. Теперь докажем что , это уравнение имеет бесконечно много решений для любых различных A,B.
Рассмотрим два случая: A−B=c2 и A−B≠c2 где c∈N.
(i): A−B≠c2. Пусть A−B=k⇒ky2=x22−x21⇔x21=x22−ky2 Пусть x1=1⇒x22−ky2=1 из Теоремы мы имеем бесконечно много решений в x1;x2;y где x1=1 и из свойств (x2,y)=1 и также (1,y)=1. ◻
(ii):A−B=c2⇒c2y2=x22−x21. Пусть y=2m+1≥3, нечетное натуральное число, такое , что (y,c)=1
Пусть тогда x1=2m(m+1)c, x2=((m+1)2+m2)c=(2(m2+m)+1)c, y=(m+1)2−m2=2m+1⇒yc=c((m+1)2−m2)=c(2m+1).
Теперь заметим, что yc;x1;x2 Примитивная пифагорная тройка, также из Факт 1 и Факт 2 и из (y,c)=1 выходит, что (x1,y)=1,(x2,y)=1.
Значит для любой m такое, что (2m+1,c)=1 удовлетворяет условия, но также таких бесконечно много. ◻
Попробуем подобрать:
Скажем y1=y2=A+B+2n где n−какое то натуральное число
x1=(A+B+2n)2+B−A2 (Очевидно что оно натуральное т.к. четности A+B+2n и B−A одинаковые.)
x2=(A+B+2n)2+A−B2
Если переписать условия то (A+B+2n)2(A−B)=y2(A−B)=x22−x21=(x2−x1)(x2+x1)=((A+B+2n)2+B−A2−(A+B+2n)2+A−B2)((A+B+2n)2+B−A2+(A+B+2n)2+A−B2)=(A−B)(A+B+2n)2
Очевидно, что таких x1;x2;y1;y2 существует бесконечное количество т.к. можно увеличивать n. Теперь докажем, что можно найти бесконечно взаимопростых.
Заметим x1+x2=y2
По алгоритму евклида (x1;y2)=(x1;y2−x1)=(x1;x2)=(x2;y2)
Если вдруг (x1;y)=d>1 то (x1;x2)=(x1;y2)≥d. Тогда просто поделим всё выражение на d и тогда существует бесконечное количество подходящих четверок вида:(x1;x2;y1;y2)=((A+B+2n)2+B−A2d;(A+B+2n)2+A−B2d;A+B+2nd;A+B+2nd)
ЧТД
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.