Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

21-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2022 жыл


Әртүрлі A және B натурал сандары берілген. x21+Ay21 түрінде де келтіруге болатын, бұл жерде x1 және y1 өзара жай сандар; x22+By22 түрінде де келтіруге болатын, бұл жерде x2 және y2 өзара жай сандар, сандар саны шексіз көп екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   1
2 года 5 месяца назад #

Допускаете, что y1=y2 и дальше легко.

пред. Правка 3   6
2 года 1 месяца назад #

Теорема: Пусть d натуральное число не являющийся квадратом. Тогда уравнения a2db2=1 имеет бесконечно много решений в натуральных a;b.

Cвойства: (a,b)=1.

Факт 1: (2m(m+1),2m+1)=1, где mN.

Факт 2: (2(m2+m)+1,2m+1)=1 где mN.

Факты очевидные если, что докажите сами.

Возьмём y1=y2=y.

Б.О.О A>B.

x21+Ay2=x22+By2(AB)y2=x22x21. Теперь докажем что , это уравнение имеет бесконечно много решений для любых различных A,B.

Рассмотрим два случая: AB=c2 и ABc2 где cN.

(i): ABc2. Пусть AB=kky2=x22x21x21=x22ky2 Пусть x1=1x22ky2=1 из Теоремы мы имеем бесконечно много решений в x1;x2;y где x1=1 и из свойств (x2,y)=1 и также (1,y)=1.

(ii):AB=c2c2y2=x22x21. Пусть y=2m+13, нечетное натуральное число, такое , что (y,c)=1

Пусть тогда x1=2m(m+1)c, x2=((m+1)2+m2)c=(2(m2+m)+1)c, y=(m+1)2m2=2m+1yc=c((m+1)2m2)=c(2m+1).

Теперь заметим, что yc;x1;x2 Примитивная пифагорная тройка, также из Факт 1 и Факт 2 и из (y,c)=1 выходит, что (x1,y)=1,(x2,y)=1.

Значит для любой m такое, что (2m+1,c)=1 удовлетворяет условия, но также таких бесконечно много.

пред. Правка 3   0
1 месяца 17 дней назад #

Попробуем подобрать:

Скажем y1=y2=A+B+2n где nкакое то натуральное число

x1=(A+B+2n)2+BA2 (Очевидно что оно натуральное т.к. четности A+B+2n и BA одинаковые.)

x2=(A+B+2n)2+AB2

Если переписать условия то (A+B+2n)2(AB)=y2(AB)=x22x21=(x2x1)(x2+x1)=((A+B+2n)2+BA2(A+B+2n)2+AB2)((A+B+2n)2+BA2+(A+B+2n)2+AB2)=(AB)(A+B+2n)2

Очевидно, что таких x1;x2;y1;y2 существует бесконечное количество т.к. можно увеличивать n. Теперь докажем, что можно найти бесконечно взаимопростых.

Заметим x1+x2=y2

По алгоритму евклида (x1;y2)=(x1;y2x1)=(x1;x2)=(x2;y2)

Если вдруг (x1;y)=d>1 то (x1;x2)=(x1;y2)d. Тогда просто поделим всё выражение на d и тогда существует бесконечное количество подходящих четверок вида:(x1;x2;y1;y2)=((A+B+2n)2+BA2d;(A+B+2n)2+AB2d;A+B+2nd;A+B+2nd)

ЧТД