XVII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2022 год

В бесконечной последовательности $\{\alpha\}$, $\{\alpha^2\}$, $\{\alpha^3\}$, $\ldots$ встречается только конечное количество разных чисел. Докажите, что $\alpha$ — целое число. (Дробной частью числа $x$ называется такое число $\{x\}$, что $\{x\} = x-[x]$, где $[x]$ это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.) ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Пусть сущ. не целое $\alpha,$ что последовательность содержит $n$ различных чисел. Тогда среди любых подряд идущих $n+1$ степеней найдутся два равных:

$$\{\alpha^i\}=\{\alpha^j\}\iff \alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in \mathbb Z, 1\le s=i-j\le n.$$

Отсюда следует, что найдется фиксированное $1\le s\le n$ и бесконечно $j,$ что $\alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in\mathbb Z\implies \alpha^{j_1-j_2}=\dfrac{\alpha^{j_1}(\alpha^{s}-1)}{\alpha^{j_2}(\alpha^{s}-1)}\in \mathbb Q.$

Теперь рассмотрим только степени $\equiv 1 \pmod {(j_1-j_2)},$ откуда аналогично получаем, что для некоторых $j,s:$ $\alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in \mathbb Z,$ где $j_1-j_2\mid j-1$ и $j_1-j_2\mid s.$ Откуда получаем, что $\alpha \in \mathbb Q,$ откуда из $\alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in \mathbb Z$ следует, что $\alpha \in \mathbb Z.$

Заметим что существует $k$ так что существует бесконечно много $m$ таких что $\{a^k\}=\{a^m\}$

Рассмотрим набор чисел:

$\{a^{k+1}\} , \{a^{m+1}\}$ для всех бесконечных $m$. Заметим так как разных чисел у нас ограничено значит какие то два числа из этого набора будут равны, и отсюда $\exists k,m$ так что $\{a^{k}\}=\{a^m\}$ и $\{a^{m+1}\}=\{a^{k+1}\}$ и значит: $k>m$

$\dfrac{a^{m+1}-a^{m+1}}{a^m-a^n}=a \in \mathbb{Q}$

Пусть тогда $a=\dfrac{p}{q}$ где $gcd(p,q)=1$. Тогда $a^k-a^m=\dfrac{p^k-p^mq^{k-m}}{q^k} \in \mathbb{Z}$ значит $q|p$ =>> $q=1$.