XVII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2022 год

В бесконечной последовательности $\{\alpha\}$, $\{\alpha^2\}$, $\{\alpha^3\}$, $\ldots$ встречается только конечное количество разных чисел. Докажите, что $\alpha$ — целое число. (Дробной частью числа $x$ называется такое число $\{x\}$, что $\{x\} = x-[x]$, где $[x]$ это наибольшее целое число, не превосходящее $x$.) ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Пусть сущ. не целое $\alpha,$ что последовательность содержит $n$ различных чисел. Тогда среди любых подряд идущих $n+1$ степеней найдутся два равных:

$$\{\alpha^i\}=\{\alpha^j\}\iff \alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in \mathbb Z, 1\le s=i-j\le n.$$

Отсюда следует, что найдется фиксированное $1\le s\le n$ и бесконечно $j,$ что $\alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in\mathbb Z\implies \alpha^{j_1-j_2}=\dfrac{\alpha^{j_1}(\alpha^{s}-1)}{\alpha^{j_2}(\alpha^{s}-1)}\in \mathbb Q.$

Теперь рассмотрим только степени $\equiv 1 \pmod {(j_1-j_2)},$ откуда аналогично получаем, что для некоторых $j,s:$ $\alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in \mathbb Z,$ где $j_1-j_2\mid j-1$ и $j_1-j_2\mid s.$ Откуда получаем, что $\alpha \in \mathbb Q,$ откуда из $\alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in \mathbb Z$ следует, что $\alpha \in \mathbb Z.$