21-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2022 жыл
Шексіз көп сандардан құралған {α}, {α2}, {α3}, … тізбегінде кездесетін әртүрлі сандар саны шекті екені белгілі. α саны бүтін сан екенін дәлелдеңіз. (x санының бөлшек {x} бөлігі деп, {x}=x−[x] санын айтамыз. Бұл жерде [x] саны x-тен аспайтын ең үлкен бүтін сан.)
(
А. Голованов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть сущ. не целое α, что последовательность содержит n различных чисел. Тогда среди любых подряд идущих n+1 степеней найдутся два равных:
{αi}={αj}⟺αj(αs−1)∈Z,1≤s=i−j≤n.
Отсюда следует, что найдется фиксированное 1≤s≤n и бесконечно j, что αj(αs−1)∈Z⟹αj1−j2=αj1(αs−1)αj2(αs−1)∈Q.
Теперь рассмотрим только степени \equiv 1 \pmod {(j_1-j_2)}, откуда аналогично получаем, что для некоторых j,s: \alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in \mathbb Z, где j_1-j_2\mid j-1 и j_1-j_2\mid s. Откуда получаем, что \alpha \in \mathbb Q, откуда из \alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in \mathbb Z следует, что \alpha \in \mathbb Z.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.