Processing math: 68%

21-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2022 жыл


Шексіз көп сандардан құралған {α}, {α2}, {α3}, тізбегінде кездесетін әртүрлі сандар саны шекті екені белгілі. α саны бүтін сан екенін дәлелдеңіз. (x санының бөлшек {x} бөлігі деп, {x}=x[x] санын айтамыз. Бұл жерде [x] саны x-тен аспайтын ең үлкен бүтін сан.) ( А. Голованов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   9
2 года 7 месяца назад #

Пусть сущ. не целое α, что последовательность содержит n различных чисел. Тогда среди любых подряд идущих n+1 степеней найдутся два равных:

{αi}={αj}αj(αs1)Z,1s=ijn.

Отсюда следует, что найдется фиксированное 1sn и бесконечно j, что αj(αs1)Zαj1j2=αj1(αs1)αj2(αs1)Q.

Теперь рассмотрим только степени \equiv 1 \pmod {(j_1-j_2)}, откуда аналогично получаем, что для некоторых j,s: \alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in \mathbb Z, где j_1-j_2\mid j-1 и j_1-j_2\mid s. Откуда получаем, что \alpha \in \mathbb Q, откуда из \alpha^{j}(\alpha^{s}-1)\in \mathbb Z следует, что \alpha \in \mathbb Z.