21-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2022 жыл

Есеп №1.  $\omega$ шеңберіне дөңес $ABCD$ төртбұрышы іштей сызылған. $AB$ және $DC$ сәулелері $K$ нүктесінде қиылысады. $BD$ диагональында $\angle BAC = \angle DAL$ болатындай $L$ нүктесі алынған. $KL$ кесіндісінде $CM \parallel BD$ болатындай $M$ нүктесі белгіленген. $BM$ түзуі $\omega$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )
комментарий/решение(4)

---

Есеп №2.  Әртүрлі $A$ және $B$ натурал сандары берілген. $x_1^2+Ay_1^2$ түрінде де келтіруге болатын, бұл жерде $x_1$ және $y_1$ өзара жай сандар; $x_2^2+ By_2^2$ түрінде де келтіруге болатын, бұл жерде $x_2$ және $y_2$ өзара жай сандар, сандар саны шексіз көп екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3.  Шексіз көп сандардан құралған $\{\alpha\}$, $\{\alpha^2\}$, $\{\alpha^3\}$, $\ldots$ тізбегінде кездесетін әртүрлі сандар саны шекті екені белгілі. $\alpha$ саны бүтін сан екенін дәлелдеңіз. ($x$ санының бөлшек $\{x\}$ бөлігі деп, $\{x\} = x-[x]$ санын айтамыз. Бұл жерде $[x]$ саны $x$-тен аспайтын ең үлкен бүтін сан.) ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4.  Бір тілдің әліпбиінде 25 әріп бар, ал сөз болып барлық дәл 17 әріптерден құралған тізбекті айтады. Сақина болып желімделген жолаққа осы тілдің $5^{18}$ әріпі бір тізбеккке жазылған. Егер осы жолақтан қандай да бір сөзі бар бөлікті кесіп алуға болса, бірақ осындай өзара қиылыспайтын екі сөзді кесіп алуға болмаса, ондай сөзді сирек деп атаймыз. Осы жолақтан қайсібір сөздің $5^{16}$ қиылыспайтын көшірмелерін қиып алуға болатыны белгілі. Сирек сөздердің ең үлкен мүмкін санын табыңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(3)

---