Городская олимпиада по математике среди физ-мат школАлматы, 2010 год

Окружность $\omega$ описана около четырехугольника $ABCD$. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, а прямые $AD$ и $BC$ — в точке $L$. Прямая, проходящая через центр окружности $\omega$ и перпендикулярная $KL$, пересекает прямые $KL$, $CD$ и $AD$ в точках $P$, $Q$ и $R$ соответственно. Докажите, что прямые $QL$, $BP$ и $KR$ пересекаются в одной точке. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

$Факт \: №1:$ в $\triangle ABC$ и проведены чевианы $AD, \: BE, \: CF$ которые пересекаются в одной точке и $BC \cap EF = G$, тогда $(B, C, D, G) = -1.$

$Факт \: №2:$ в $\triangle ABC$ и проведены чевианы $AD, \: BE, \: CF$ которые пересекаются в одной точке и $AD \perp BC$, тогда $\angle ADE = \angle ADF.$

$Теорема \: Брокарда: (ABCD), AB \cap CD = E, AD \cap BC = F, O - центр \: (ABCD), AC \cap BD = G \Rightarrow O - \: ортоцентр \: \triangle EGF.$

$Решение:$ Пусть $QL \cap KR = T, AC \cap BD = U, KL \cap AC = S, BD \cap KL = V \Rightarrow P, \: U, \: O$ - лежат на одной прямой по теореме Брокарда, тогда достаточно доказать то что $\angle BPU = \angle DPU$($Факт \: №2$). $(L, K, V, S) \stackrel{A}{=} (D, B, V, U) = -1$($Факт \: №1$), $\angle DPV = 90^\circ \Rightarrow \angle BPU = \angle DPU. \square$