Математикадан Алматы қаласының олимпиадасы, 2012 жыл

Теңбүйірлі $ABC$ $(BC=AC)$ үшбұрышының $BN$ биссектриссасында $BK=KC$ және $KN=NA$ болатындай $K$ нүктесі табылған. $ABC$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

$\angle ABC=2\alpha$ и $Z \in CK \cap AB$ из условия $CK=BK$ Следует что $ANKZ$ вписанный, так как $AN=NK$ значит $ZN$ биссектриса $\angle AZC$ , найдя угол $\angle ACZ = 180-5\alpha$ откуда $\frac{AZ}{CZ}=\frac{AB}{BC}$ из свойства биссектрисы или тоже самое что $\sin 5\alpha = \sin 4\alpha$ откуда $\alpha =20^{\circ}$ значит углы равны $40^{\circ}, 40^{\circ}, 100^{\circ}$