Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2014 год

Задача №1. Для натурального числа

$m$ обозначим через

$S(m)$ и

$P(m)$ сумму и произведение его цифр, соответственно. Докажите, что для любого натурального

$n$ существуют натуральные числа

$a_1, a_2, \ldots, a_n$ , удовлетворяющие следующим условиям:

$S(a_1) < S(a_2) < \dots < S(a_n) \text{ и } S(a_{i}) = P(a_{i+1}) \quad (i = 1,2,\ldots, n).$ (Мы полагаем

$a_{n+1} = a_1$ .) ( Japan )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть

$S = \{ 1,2,\ldots, 2014\}.$ Для каждого непустого подмножества

$T \subseteq S$ должен быть выбран один из его элементов в качестве его

$\it представителя$ . Найдите количество всех способов выбора представителей для всех непустых подмножеств

$S$ , обладающих свойством: если какое-либо подмножество

$D \subseteq S$ является объединением попарно непересекающихся непустых подмножеств

$A, B, C \subseteq S$ , то представитель

$D$ также является представителем по крайней мере одного из подмножеств

$A, B, C.$ ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все натуральные

$n$ , для которых при любом целом

$k$ существует такое целое

$a$ , что

$a^3 + a - k$ кратно

$n$ . ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2)

Задача №4. Пусть

$n$ и

$b$ — натуральные числа. Число

$n$ назовем

$b\,—\it{различимым}$ , если существует такое множество из

$n$ различных натуральных чисел, меньших

$b$ , что в нем нет двух различных подмножеств с одинаковой суммой элементов.
(а) Докажите, что число

$8$ является

$100\,$ — различимым.
(б) Докажите, что число

$9$ не является

$100\,$ — различимым. ( Australia )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Окружности

$\omega$ и

$\Omega$ пересекаются в точках

$A$ и

$B$ . Пусть

$M$ — середина дуги

$AB$ окружности

$\omega$ (

$M$ лежит внутри

$\Omega$ ). Хорда

$MP$ окружности

$\omega$ пересекает

$\Omega$ в точке

$Q$ (

$Q$ лежит внутри

$\omega$ ). Пусть

$\ell_P$ — касательная к окружности

$\omega$ в точке

$P$ , а

$\ell_Q$ — касательная к окружности

$\Omega$ в точке

$Q$ . Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного при пересечении прямых

$\ell_P$ ,

$\ell_Q$ и

$AB$ , касается

$\Omega$ . ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(5)

результаты