қазақша
русскийАзиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2014 год
Задача №1. Для натурального числа $m$ обозначим через $S(m)$ и $P(m)$ сумму и произведение его цифр, соответственно. Докажите, что для любого натурального $n$ существуют натуральные числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющие следующим условиям:
$$
S(a_1) < S(a_2) < \dots < S(a_n) \text{ и } S(a_{i}) = P(a_{i+1}) \quad (i = 1,2,\ldots, n).
$$
(Мы полагаем $a_{n+1} = a_1$.)
(
Japan
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Пусть $S = \{ 1,2,\ldots, 2014\}.$ Для каждого непустого подмножества $T \subseteq S$ должен быть выбран один из его элементов в качестве его $\it представителя$. Найдите количество всех способов выбора представителей для всех непустых подмножеств $S$, обладающих свойством: если какое-либо подмножество $D \subseteq S$ является объединением попарно непересекающихся непустых подмножеств $A, B, C \subseteq S$, то представитель $D$ также является представителем по крайней мере одного из подмножеств $A, B, C.$
(
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите все натуральные $n$, для которых при любом целом $k$ существует такое целое $a$, что $a^3 + a - k$ кратно $n$.
(
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Пусть $n$ и $b$ — натуральные числа. Число $n$ назовем $b\,—\it{различимым}$, если существует такое множество из $n$ различных натуральных чисел, меньших $b$, что в нем нет двух различных подмножеств с одинаковой суммой элементов.
(а) Докажите, что число $8$ является $100\,$— различимым.
(б) Докажите, что число $9$ не является $100\,$— различимым.
(
Australia
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Окружности $\omega$ и $\Omega$ пересекаются в точках $A$ и $B$.
Пусть $M$ — середина дуги $AB$ окружности $\omega$ ($M$ лежит внутри $\Omega$).
Хорда $MP$ окружности $\omega$ пересекает $\Omega$ в точке $Q$ ($Q$ лежит внутри $\omega$).
Пусть $\ell_P$ — касательная к окружности $\omega$ в точке $P$, а $\ell_Q$ — касательная к окружности $\Omega$ в точке $Q$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного при пересечении прямых $\ell_P$, $\ell_Q$ и $AB$, касается $\Omega$.
(
М. Кунгожин,
И. Богданов
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)