Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2014 жыл

Есеп №1. Берілген натурал

$m$ саны үшін

$S\left( m \right)$ және

$P\left( m \right)$ арқылы сәйкесінше оның цифрларының қосындысы мен цифрларының көбейтіндісін белгілейік. Кез келген натурал

$n$ саны үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ сандары табылатынын дәлелдеңдер:

$S({{a}_{1}}) < S({{a}_{2}}) < \cdots < S({{a}_{n}})$ және

$S({{a}_{i}})=P({{a}_{i+1}})$

$(i=1,2,\ldots ,n).$ (Бұл жерде

${{a}_{n+1}}={{a}_{1}}$ деп санаймыз.) ( Japan )
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$S=\{1,\ 2, \ \ldots , \ 2014\}$ болсын.

$S$ жиынының барлық бос емес

$T\subseteq S$ ішкі жиын үшін, оның өкілі ретінде бір элемент таңдап алынуы керек.

$S$ жиынының барлық бос емес ішкі жиындарының өкілін таңдап алудың және келесі шартты қанағаттандыратын барлық тәсілдерсанын анықта: егер қандай-да бір

$D\subseteq S$ ішкі жиыны, өзара қиылыспайтын бос емес

$A,B,C\subseteq S$ ішкі жиындарының бірігуі болса, онда

$D$ жиынының өкілі кемінде

$A$ ,

$B$ ,

$C$ жиындарының біреуінің өкілі болу керек. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Кез келген бүтін

$k$ және қандай-да бір бүтін

$a$ саны үшін,

${{a}^{3}}+a-k$ саны

$n$ санына бөлінетіндей барлық натурал

$n$ санын табыңдар. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$n$ және

$b$ натурал сандар болсын. Егер әр элементі

$b$ -дан кіші болатын және оның кез келген тең емес екі ішкі жиын үшін, олардың элементтерінің қосындысы тең болмайтындай, әр түрлі

$n$ натурал саннан құралған жиын табылса, онда

$n$ санын

$b$ -айырмалы дейміз.
(а) 8 саны 100-айырмалы екенін дәлелдеңдер.
(б) 9 саны 100-айырмалы емес екенін дәлелдеңдер. ( Australia )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$\omega$ және

$\Omega$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылысады.

$M$ нүктесі

$\omega$ шеңберінің

$AB$ доғасының ортасы болсын (

$M$ нүктесі

$\Omega$ -ның ішінде жатыр).

$\omega$ шеңберінің

$MP$ хордасы

$\Omega$ шеңберін

$Q$ нүктесінде қияды (

$Q$ нүктесі

$\omega$ -ның ішінде жатыр).

${{l}_{P}}$ —

$\omega$ шеңберіне

$P$ нүктесінде,

${{l}_{Q}}$ —

$\Omega$ шеңберіне

$Q$ нүктесінде жүргізілген жанамалар болсын.

${{l}_{P}}$ ,

${{l}_{Q}}$ және

$AB$ түзулерінің қиылысуынан пайда болған үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер

$\Omega$ -ны жанайтынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(5)

результаты