қазақша
русскийАзия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2014 жыл
Есеп №1. Берілген натурал $m$ саны үшін $S\left( m \right)$ және $P\left( m \right)$ арқылы сәйкесінше оның цифрларының қосындысы мен цифрларының көбейтіндісін белгілейік. Кез келген натурал $n$ саны үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{n}}$ сандары табылатынын дәлелдеңдер:
$S({{a}_{1}}) < S({{a}_{2}}) < \cdots < S({{a}_{n}})$ және $S({{a}_{i}})=P({{a}_{i+1}})$ $(i=1,2,\ldots ,n).$
(Бұл жерде ${{a}_{n+1}}={{a}_{1}}$ деп санаймыз.)
(
Japan
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $S=\{1,\ 2, \ \ldots , \ 2014\}$ болсын. $S$ жиынының барлық бос емес $T\subseteq S$ ішкі жиын үшін, оның өкілі ретінде бір элемент таңдап алынуы керек. $S$ жиынының барлық бос емес ішкі жиындарының өкілін таңдап алудың және келесі шартты қанағаттандыратын барлық тәсілдерсанын анықта: егер қандай-да бір $D\subseteq S$ ішкі жиыны, өзара қиылыспайтын бос емес $A,B,C\subseteq S$ ішкі жиындарының бірігуі болса, онда $D$ жиынының өкілі кемінде $A$, $B$, $C$ жиындарының біреуінің өкілі болу керек.
(
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Кез келген бүтін $k$ және қандай-да бір бүтін $a$ саны үшін, ${{a}^{3}}+a-k$ саны $n$ санына бөлінетіндей барлық натурал $n$ санын табыңдар.
(
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $n$ және $b$ натурал сандар болсын. Егер әр элементі $b$-дан кіші болатын және оның кез келген тең емес екі ішкі жиын үшін, олардың элементтерінің қосындысы тең болмайтындай, әр түрлі $n$ натурал саннан құралған жиын табылса, онда $n$ санын $b$-айырмалы дейміз.
(а) 8 саны 100-айырмалы екенін дәлелдеңдер.
(б) 9 саны 100-айырмалы емес екенін дәлелдеңдер. ( Australia )
комментарий/решение(1)
(а) 8 саны 100-айырмалы екенін дәлелдеңдер.
(б) 9 саны 100-айырмалы емес екенін дәлелдеңдер. ( Australia )
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $\omega $ және $\Omega $ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $M$ нүктесі $\omega $ шеңберінің $AB$ доғасының ортасы болсын ($M$ нүктесі $\Omega $-ның ішінде жатыр). $\omega $ шеңберінің $MP$ хордасы $\Omega $ шеңберін $Q$ нүктесінде қияды ($Q$ нүктесі $\omega $-ның ішінде жатыр). ${{l}_{P}}$ — $\omega $ шеңберіне $P$ нүктесінде, ${{l}_{Q}}$ — $\Omega $ шеңберіне $Q$ нүктесінде жүргізілген жанамалар болсын. ${{l}_{P}}$, ${{l}_{Q}}$ және $AB$ түзулерінің қиылысуынан пайда болған үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер $\Omega $-ны жанайтынын дәлелдеңдер.
(
М. Кунгожин,
И. Богданов
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)