Loading [MathJax]/jax/output/SVG/fonts/TeX/fontdata.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2014 год


Для натурального числа m обозначим через S(m) и P(m) сумму и произведение его цифр, соответственно. Докажите, что для любого натурального n существуют натуральные числа a1,a2,,an, удовлетворяющие следующим условиям: S(a1)<S(a2)<<S(an) и S(ai)=P(ai+1)(i=1,2,,n). (Мы полагаем an+1=a1.) ( Japan )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть k — достаточно большое натуральное число. Для каждого i=2,3,,n выберем в качестве ai натуральное число, десятичная запись которого состоит из k+i2 цифр 2 и из 2k+i12(k+i2) цифр 1. Имеем: S(ai)=2k+i1 и P(ai)=2k+i2 для каждого i, 2in. Далее, в качестве a1 берем состоящее из k+n1 цифр 2 и 2k2(k+n1) цифр 1. Тогда S(a1)=2k и P(a1)=2k+n1. Такой выбор a1 возможен, если k достаточно велико, чтобы удовлетворять неравенству 2k>2(k+n1). Нетрудно убедиться, что числа a1,,an удовлетворяют нашим требованиям.