Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2014 год

Для натурального числа $m$ обозначим через $S(m)$ и $P(m)$ сумму и произведение его цифр, соответственно. Докажите, что для любого натурального $n$ существуют натуральные числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющие следующим условиям: $$ S(a_1) < S(a_2) < \dots < S(a_n) \text{ и } S(a_{i}) = P(a_{i+1}) \quad (i = 1,2,\ldots, n). $$ (Мы полагаем $a_{n+1} = a_1$.) ( Japan )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $k$ — достаточно большое натуральное число. Для каждого $i = 2,3,\ldots, n$ выберем в качестве $a_i$ натуральное число, десятичная запись которого состоит из $k + i - 2$ цифр $2$ и из $2^{k + i - 1} - 2(k + i - 2)$ цифр $1$. Имеем: $S(a_i) = 2^{k + i - 1}$ и $P(a_i) = 2^{k + i - 2}$ для каждого $i$, $2 \le i \le n.$ Далее, в качестве $a_1$ берем состоящее из $k + n - 1$ цифр $2$ и $2^k - 2(k + n - 1)$ цифр $1$. Тогда $S(a_1) = 2^k$ и $P(a_1) = 2^{k + n -1}$. Такой выбор $a_1$ возможен, если $k$ достаточно велико, чтобы удовлетворять неравенству $2^k > 2(k + n - 1)$. Нетрудно убедиться, что числа $a_1, \ldots, a_n$ удовлетворяют нашим требованиям.