Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2014 год
Для натурального числа m обозначим через S(m) и P(m) сумму и произведение его цифр, соответственно. Докажите, что для любого натурального n существуют натуральные числа a1,a2,…,an, удовлетворяющие следующим условиям:
S(a1)<S(a2)<⋯<S(an) и S(ai)=P(ai+1)(i=1,2,…,n).
(Мы полагаем an+1=a1.)
(
Japan
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Пусть k — достаточно большое натуральное число. Для каждого i=2,3,…,n выберем в качестве ai натуральное число, десятичная запись которого состоит из k+i−2 цифр 2 и из 2k+i−1−2(k+i−2) цифр 1. Имеем: S(ai)=2k+i−1 и P(ai)=2k+i−2 для каждого i, 2≤i≤n. Далее, в качестве a1 берем состоящее из k+n−1 цифр 2 и 2k−2(k+n−1) цифр 1. Тогда S(a1)=2k и P(a1)=2k+n−1. Такой выбор a1 возможен, если k достаточно велико, чтобы удовлетворять неравенству 2k>2(k+n−1). Нетрудно убедиться, что числа a1,…,an удовлетворяют нашим требованиям.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.