Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2014 жыл

Берілген натурал $m$ саны үшін $S\left( m \right)$ және $P\left( m \right)$ арқылы сәйкесінше оның цифрларының қосындысы мен цифрларының көбейтіндісін белгілейік. Кез келген натурал $n$ саны үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$ сандары табылатынын дәлелдеңдер: $S({{a}_{1}}) < S({{a}_{2}}) < \cdots < S({{a}_{n}})$ және $S({{a}_{i}})=P({{a}_{i+1}})$ $(i=1,2,\ldots ,n).$ (Бұл жерде ${{a}_{n+1}}={{a}_{1}}$ деп санаймыз.) ( Japan )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $k$ — достаточно большое натуральное число. Для каждого $i = 2,3,\ldots, n$ выберем в качестве $a_i$ натуральное число, десятичная запись которого состоит из $k + i - 2$ цифр $2$ и из $2^{k + i - 1} - 2(k + i - 2)$ цифр $1$. Имеем: $S(a_i) = 2^{k + i - 1}$ и $P(a_i) = 2^{k + i - 2}$ для каждого $i$, $2 \le i \le n.$ Далее, в качестве $a_1$ берем состоящее из $k + n - 1$ цифр $2$ и $2^k - 2(k + n - 1)$ цифр $1$. Тогда $S(a_1) = 2^k$ и $P(a_1) = 2^{k + n -1}$. Такой выбор $a_1$ возможен, если $k$ достаточно велико, чтобы удовлетворять неравенству $2^k > 2(k + n - 1)$. Нетрудно убедиться, что числа $a_1, \ldots, a_n$ удовлетворяют нашим требованиям.