Australia

Задача №1. Пусть

$n$ и

$b$ — натуральные числа. Число

$n$ назовем

$b\,—\it{различимым}$ , если существует такое множество из

$n$ различных натуральных чисел, меньших

$b$ , что в нем нет двух различных подмножеств с одинаковой суммой элементов.
(а) Докажите, что число

$8$ является

$100\,$ — различимым.
(б) Докажите, что число

$9$ не является

$100\,$ — различимым. ( Australia )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Функции

$f(x)$ и

$g(x)$ заданы следующим образом:

$f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x-4} + \cdots + \dfrac{1}{x-2018}$ и

$g(x) = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x-5} + \cdots + \dfrac{1}{x-2017}.$ Докажите, что неравенство

$|f(x) - g(x)| > 2$ выполняется для всех нецелых действительных

$x$ , удовлетворяющих условию

$0 < x < 2018$ . ( Australia )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Набор из

$n$ квадратов на плоскости, называется трисвязным, если выполняются одновременно три условия:
(i) Все квадраты равны между собой.
(ii) Если два квадрата имеют общую точку

$P$ , тогда

$P$ является вершиной каждого из них.
(iii) Каждый квадрат касается в точности трех других квадратов.
Сколько существует различных натуральных чисел

$n$ из промежутка

$2018 \le n \le 3018$ , для которых найдется набор из

$n$ квадратов, являющийся трисвязным? ( Australia )
комментарий/решение(1) олимпиада