қазақша
русскийAustralia
Есеп №1. $n$ және $b$ натурал сандар болсын. Егер әр элементі $b$-дан кіші болатын және оның кез келген тең емес екі ішкі жиын үшін, олардың элементтерінің қосындысы тең болмайтындай, әр түрлі $n$ натурал саннан құралған жиын табылса, онда $n$ санын $b$-айырмалы дейміз.
(а) 8 саны 100-айырмалы екенін дәлелдеңдер.
(б) 9 саны 100-айырмалы емес екенін дәлелдеңдер. ( Australia )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. $f(x)$ және $g(x)$ функциялары келесідей берілген: $f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x-2} + \dfrac{1}{x-4} + \cdots + \dfrac{1}{x-2018}$ және $g(x) = \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x-3} + \dfrac{1}{x-5} + \cdots + \dfrac{1}{x-2017}.$ Барлық бүтін емес $0 < x < 2018$ шартын қанағаттандыратын $x$ саны үшін $|f(x) - g(x)| > 2$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Australia )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. Жазықтықтағы $n$ шаршыдан тұратын жиынтық үшбайланысты деп аталады, егер бір уақытта келесі үш шарт орындалса:
(i) Барлық шаршылар өзара тең.
(ii) Егер $P$ нүктесі екі шаршыға ортақ болса, онда ол сол екі шаршының да төбесі болады.
(iii) Әр шаршы басқа дәл үш шаршыны жанайды.
$n$ шаршыдан тұратын үшбайланысты жиынтық табылатындай $2018 \le n \le 3018$ аралығында қанша натурал $n$ саны бар? ( Australia )
комментарий/решение(1) олимпиада