Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2018 год

Набор из $n$ квадратов на плоскости, называется трисвязным, если выполняются одновременно три условия:
(i) Все квадраты равны между собой.
(ii) Если два квадрата имеют общую точку $P$, тогда $P$ является вершиной каждого из них.
(iii) Каждый квадрат касается в точности трех других квадратов.
Сколько существует различных натуральных чисел $n$ из промежутка $2018 \le n \le 3018$, для которых найдется набор из $n$ квадратов, являющийся трисвязным? ( Australia )

Комментарий/решение

Во-первых, «единицу» (см. пост выше) можно расширить до любой единицы, состоящей из $4k+2$ квадратов для некоторого $k\geq 1$. Теперь, без ограничения общности, пусть длина квадратов равна 1. Идея состоит в том, чтобы создать четырехугольник $ABCD$, если $k$ делится на $4$, или пятиугольник $ABCDE$, если $k$ не делится, а затем сделать длины сторон и углы «подходят», чтобы мы могли соединить блоки в этой многоугольной форме. Обозначим через $f(k)$ «длину» блока, состоящего из $4k+2$ квадратов; т.е. на первых двух картинках $f(1) = OR$ и $f(2) = H_1 K_1$. Оказывается, любой многоугольник подходит, если все длины его сторон равны $f(k)$ для некоторого натурального числа $k$, а все углы больше $\frac{\pi}{3}$.

На третьем рисунке видно, что существует подходящий четырехугольник с длинами сторон $f(2)$, $f(1)$, $f(1)$ и $f(1)$. Используя некоторые рассуждения об увеличении длин сторон, для каждого $k\geq 1$ существует подходящий четырехугольник $ABCD$ с $AB = f(k+1)$, $CD = f(k)$ и $ BC = DA = f(1)$ (набор углов один и тот же для всех $k$, если четырехугольник обозначить трапецией и подходит форма трапеции). Очевидно, что если $AB = f(k)$ вместо $f(k+1)$, то превращение четырехугольника в прямоугольник делает его подходящим. Отсюда мы получаем, что $24+4k$ — это хорошо для всех $k$.

Теперь мы создадим правильный пятиугольник $ABCDE$ со стороной $f(1)$, который подходит и подразумевает, что $30$ — это хорошо. Теперь мы увеличиваем длины сторон одну за другой, увеличивая количество квадратов на $4$, но сохраняя пятиугольник подходящим. Поскольку случай четырехугольника безопасен, он тоже должен быть безопасным, что дает нам, что $30+4k$ хорошо для всех $k\geq 1$.

Изменить: кажется, я нашел конструкцию для $n = 26$, поэтому каждый четный $n\geq 24$ тоже должен быть хорош.