Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2018 год


Набор из n квадратов на плоскости, называется трисвязным, если выполняются одновременно три условия:
(i) Все квадраты равны между собой.
(ii) Если два квадрата имеют общую точку P, тогда P является вершиной каждого из них.
(iii) Каждый квадрат касается в точности трех других квадратов.
Сколько существует различных натуральных чисел n из промежутка 2018n3018, для которых найдется набор из n квадратов, являющийся трисвязным? ( Australia )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  11
1 года 4 месяца назад #

Во-первых, «единицу» (см. пост выше) можно расширить до любой единицы, состоящей из 4k+2 квадратов для некоторого k1. Теперь, без ограничения общности, пусть длина квадратов равна 1. Идея состоит в том, чтобы создать четырехугольник ABCD, если k делится на 4, или пятиугольник ABCDE, если k не делится, а затем сделать длины сторон и углы «подходят», чтобы мы могли соединить блоки в этой многоугольной форме. Обозначим через f(k) «длину» блока, состоящего из 4k+2 квадратов; т.е. на первых двух картинках f(1)=OR и f(2)=H1K1. Оказывается, любой многоугольник подходит, если все длины его сторон равны f(k) для некоторого натурального числа k, а все углы больше π3.

На третьем рисунке видно, что существует подходящий четырехугольник с длинами сторон f(2), f(1), f(1) и f(1). Используя некоторые рассуждения об увеличении длин сторон, для каждого k1 существует подходящий четырехугольник ABCD с AB=f(k+1), CD=f(k) и BC=DA=f(1) (набор углов один и тот же для всех k, если четырехугольник обозначить трапецией и подходит форма трапеции). Очевидно, что если AB=f(k) вместо f(k+1), то превращение четырехугольника в прямоугольник делает его подходящим. Отсюда мы получаем, что 24+4k — это хорошо для всех k.

Теперь мы создадим правильный пятиугольник ABCDE со стороной f(1), который подходит и подразумевает, что 30 — это хорошо. Теперь мы увеличиваем длины сторон одну за другой, увеличивая количество квадратов на 4, но сохраняя пятиугольник подходящим. Поскольку случай четырехугольника безопасен, он тоже должен быть безопасным, что дает нам, что 30+4k хорошо для всех k1.

Изменить: кажется, я нашел конструкцию для n=26, поэтому каждый четный n24 тоже должен быть хорош.