Warut Suksompong

Задача №1. Найдите все последовательности

$a_0, a_1, a_2, \ldots$ , состоящие из натуральных чисел, такие что

$a_0 \geqslant 2015$ и при всех натуральных

$n\geqslant 1$ выполняются следующие условия:
(i)

$a_{n+2}$ делится на

$a_n$ ;
(ii)

$|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$ , где

$s_{n+1} = a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\ldots +(-1)^{n+1}a_0.$ ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Пусть

$n$ — натуральное число. Даны

$2n$ различных прямых на плоскости, среди которых нет двух параллельных. Некоторые

$n$ из этих

$2n$ прямых покрашены синим, а оставшиеся

$n$ прямых покрашены красным. Через

$\mathcal B$ обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной синей прямой, а через

$\mathcal R$ обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной красной прямой. Докажите, что существует окружность, которая имеет с множеством

$\mathcal B$ ровно

$2n-1$ общих точек и с множеством

$\mathcal R$ тоже имеет ровно

$2n-1$ общих точек. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. На стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ выбрана точка

$D$ . Прямая, проходящая через

$D$ , пересекает отрезок

$AB$ и луч

$AC$ в точках

$X$ и

$Y$ соответственно. Окружность, описанная около треугольника

$BXD$ , пересекает окружность

$\omega$ , описанную около треугольника

$ABC$ , вторично в точке

$Z$ , отличной от

$B$ . Прямые

$ZD$ и

$ZY$ пересекают

$\omega$ вторично в точках

$V$ и

$W$ соответственно. Докажите, что

$AB=VW$ . ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №4. Найдите все натуральные

$n$ , для которых при любом целом

$k$ существует такое целое

$a$ , что

$a^3 + a - k$ кратно

$n$ . ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №5. Пусть

$S = \{ 1,2,\ldots, 2014\}.$ Для каждого непустого подмножества

$T \subseteq S$ должен быть выбран один из его элементов в качестве его

$\it представителя$ . Найдите количество всех способов выбора представителей для всех непустых подмножеств

$S$ , обладающих свойством: если какое-либо подмножество

$D \subseteq S$ является объединением попарно непересекающихся непустых подмножеств

$A, B, C \subseteq S$ , то представитель

$D$ также является представителем по крайней мере одного из подмножеств

$A, B, C.$ ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №6. Последовательность из пяти целых чисел назовем выстраиваемой, если эти числа можно взять в каком-то порядке и обозначить

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ ,

$e$ так, чтобы выполнялось равенство

$a-b+c-d+e=29$ . Найдите все последовательности из

$2017$ целых чисел

$n_1,n_2,\ldots,n_{2017}$ , удовлетворяющие условию: если такую последовательность выписать по кругу по часовой стрелке, то любые пять стоящих подряд чисел будут образовывать выстраиваемую последовательность. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №7. Пусть

$n$ — натуральное число. Пару

$n$ -ок целых чисел

$(a_1,\ldots,a_n)$ и

$(b_1,\ldots,b_n)$ назовем исключительной, если

$|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1.$ Найдите наибольшее возможное количество попарно различных

$n$ -ок целых чисел, любые две из которых образуют исключительную пару. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада