Processing math: 1%

Warut Suksompong


Задача №1.  Найдите все последовательности a0,a1,a2,, состоящие из натуральных чисел, такие что a0 и при всех натуральных n\geqslant 1 выполняются следующие условия:
(i) a_{n+2} делится на a_n;
(ii) |s_{n+1}-(n+1)a_n|=1, где s_{n+1} = a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\ldots +(-1)^{n+1}a_0. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №2.  Пусть n — натуральное число. Даны 2n различных прямых на плоскости, среди которых нет двух параллельных. Некоторые n из этих 2n прямых покрашены синим, а оставшиеся n прямых покрашены красным. Через \mathcal B обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной синей прямой, а через \mathcal R обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной красной прямой. Докажите, что существует окружность, которая имеет с множеством \mathcal B ровно 2n-1 общих точек и с множеством \mathcal R тоже имеет ровно 2n-1 общих точек. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №3.  На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D. Прямая, проходящая через D, пересекает отрезок AB и луч AC в точках X и Y соответственно. Окружность, описанная около треугольника BXD, пересекает окружность \omega, описанную около треугольника ABC, вторично в точке Z, отличной от B. Прямые ZD и ZY пересекают \omega вторично в точках V и W соответственно. Докажите, что AB=VW. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №4.  Найдите все натуральные n, для которых при любом целом k существует такое целое a, что a^3 + a - k кратно n. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №5.  Пусть S = \{ 1,2,\ldots, 2014\}. Для каждого непустого подмножества T \subseteq S должен быть выбран один из его элементов в качестве его \it представителя. Найдите количество всех способов выбора представителей для всех непустых подмножеств S, обладающих свойством: если какое-либо подмножество D \subseteq S является объединением попарно непересекающихся непустых подмножеств A, B, C \subseteq S, то представитель D также является представителем по крайней мере одного из подмножеств A, B, C. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6.  Последовательность из пяти целых чисел назовем выстраиваемой, если эти числа можно взять в каком-то порядке и обозначить a, b, c, d, e так, чтобы выполнялось равенство a-b+c-d+e=29. Найдите все последовательности из 2017 целых чисел n_1,n_2,\ldots,n_{2017}, удовлетворяющие условию: если такую последовательность выписать по кругу по часовой стрелке, то любые пять стоящих подряд чисел будут образовывать выстраиваемую последовательность. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №7.  Пусть n — натуральное число. Пару n-ок целых чисел (a_1,\ldots,a_n) и (b_1,\ldots,b_n) назовем исключительной, если |a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1. Найдите наибольшее возможное количество попарно различных n-ок целых чисел, любые две из которых образуют исключительную пару. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада