Warut Suksompong

Есеп №1.

$a_0 \geq 2015$ және кез келген бүтін

$n\geq 1$ үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық

$a_0$ ,

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ натурал сандар тізбегін табыңыздар:
(i)

$a_{n+2}$ саны

$a_n$ санына бөлінеді;
(ii)

$|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$ , бұл жерде

$s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\dots+(-1)^{n+1}a_0$ . ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2.

$n$ — натурал сан болсын. Ешқандай екеуі параллель болмайтын жазықтықтағы әртүрлі

$2n$ түзуді қарастырайық.

$2n$ түзудің

$n$ түзуі көк, ал қалғаны қызыл түске боялған. Әр нүктесі кемінде бір көк түзуде жататын нүктелер жиынын

$\mathcal{B}$ арқылы, ал әр нүктесі кемінде бір қызыл түзуде жататын нүктелер жиынын

$\mathcal{R}$ арқылы белгілейік.

$\mathcal{B}$ -ның дәл

$2n-1$ нүктесі мен

$\mathcal{R}$ -дің дәл

$2n-1$ нүктесі қандай да бір шеңбердің бойында жататын шеңбер табылатынын дәлелдеңіздер. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3.

$D$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасында жатыр.

$D$ арқылы өтетін түзу

$AB$ қабырғасын

$X$ , ал

$AC$ сәулесін

$Y$ нүктелерінде қияды.

$BXD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\omega$ шеңберін екінші рет

$Z\ne B$ нүктесінде қияды.

$ZD$ және

$ZY$ түзулері

$\omega$ -ны екінші рет сәйкесінше

$V$ және

$W$ нүктелерінде қияды.

$AB=VW$ екенін дәлелдеңіздер. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №4. Кез келген бүтін

$k$ және қандай-да бір бүтін

$a$ саны үшін,

${{a}^{3}}+a-k$ саны

$n$ санына бөлінетіндей барлық натурал

$n$ санын табыңдар. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №5.

$S=\{1,\ 2, \ \ldots , \ 2014\}$ болсын.

$S$ жиынының барлық бос емес

$T\subseteq S$ ішкі жиын үшін, оның өкілі ретінде бір элемент таңдап алынуы керек.

$S$ жиынының барлық бос емес ішкі жиындарының өкілін таңдап алудың және келесі шартты қанағаттандыратын барлық тәсілдерсанын анықта: егер қандай-да бір

$D\subseteq S$ ішкі жиыны, өзара қиылыспайтын бос емес

$A,B,C\subseteq S$ ішкі жиындарының бірігуі болса, онда

$D$ жиынының өкілі кемінде

$A$ ,

$B$ ,

$C$ жиындарының біреуінің өкілі болу керек. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №6. Бес бүтін сандардан құралған тізбектегі сандарды

$a-b+c-d+e=29$ шарты орындалатындай қандай бір ретпен

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ және

$e$ деп белгілей алсақ, онда ондай тізбекті сапталған тізбек деп атайық. Келесі шартты қанағаттандыратын 2017 бүтін сандардан құралған барлық

$n_1$ ,

$n_2$ ,

$\ldots$ ,

$n_{2017}$ тізбектерін табыңыздар: егер осындай тізбектегі сандарды шеңбер бойымен сағат бағыты бойынша жазып шықсақ, онда кез келген қатар тұрған бес сан сапталған тізбек құрайды. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №7.

$n$ — натурал сан болсын. Егер әрқайсысы

$n$ бүтін саннан тұратын

$(a_1,\ldots,a_n)$ және

$(b_1,\ldots,b_n)$ тізбектері

$|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1$ теңсіздігін қанағаттандырса, онда ондай екі тізбек жұбын ерекше деп атайық. Кез келген екеуі ерекше жұп құрайтын

$n$ бүтін саннан құралған ең көп дегенде қанша әртүрлі тізбек бар? ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада