қазақша
русскийWarut Suksompong
Есеп №1. $a_0 \geq 2015$ және кез келген бүтін $n\geq 1$ үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\dots$ натурал сандар тізбегін табыңыздар:
(i) $a_{n+2}$ саны $a_n$ санына бөлінеді;
(ii) $|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$, бұл жерде $s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\dots+(-1)^{n+1}a_0$. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. $n$ — натурал сан болсын. Ешқандай екеуі параллель болмайтын жазықтықтағы әртүрлі $2n$ түзуді қарастырайық. $2n$ түзудің $n$ түзуі көк, ал қалғаны қызыл түске боялған. Әр нүктесі кемінде бір көк түзуде жататын нүктелер жиынын $\mathcal{B}$ арқылы, ал әр нүктесі кемінде бір қызыл түзуде жататын нүктелер жиынын $\mathcal{R}$ арқылы белгілейік. $\mathcal{B}$-ның дәл $2n-1$ нүктесі мен $\mathcal{R}$-дің дәл $2n-1$ нүктесі қандай да бір шеңбердің бойында жататын шеңбер табылатынын дәлелдеңіздер. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $D$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасында жатыр. $D$ арқылы өтетін түзу $AB$ қабырғасын $X$, ал $AC$ сәулесін $Y$ нүктелерінде қияды. $BXD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберін екінші рет $Z\ne B$ нүктесінде қияды. $ZD$ және $ZY$ түзулері $\omega$-ны екінші рет сәйкесінше $V$ және $W$ нүктелерінде қияды. $AB=VW$ екенін дәлелдеңіздер. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №4. Кез келген бүтін $k$ және қандай-да бір бүтін $a$ саны үшін, ${{a}^{3}}+a-k$ саны $n$ санына бөлінетіндей барлық натурал $n$ санын табыңдар. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №5. $S=\{1,\ 2, \ \ldots , \ 2014\}$ болсын. $S$ жиынының барлық бос емес $T\subseteq S$ ішкі жиын үшін, оның өкілі ретінде бір элемент таңдап алынуы керек. $S$ жиынының барлық бос емес ішкі жиындарының өкілін таңдап алудың және келесі шартты қанағаттандыратын барлық тәсілдерсанын анықта: егер қандай-да бір $D\subseteq S$ ішкі жиыны, өзара қиылыспайтын бос емес $A,B,C\subseteq S$ ішкі жиындарының бірігуі болса, онда $D$ жиынының өкілі кемінде $A$, $B$, $C$ жиындарының біреуінің өкілі болу керек. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №6. Бес бүтін сандардан құралған тізбектегі сандарды $a-b+c-d+e=29$ шарты орындалатындай қандай бір ретпен $a$, $b$, $c$, $d$ және $e$ деп белгілей алсақ, онда ондай тізбекті сапталған тізбек деп атайық. Келесі шартты қанағаттандыратын 2017 бүтін сандардан құралған барлық $n_1$, $n_2$, $\ldots$, $n_{2017}$ тізбектерін табыңыздар: егер осындай тізбектегі сандарды шеңбер бойымен сағат бағыты бойынша жазып шықсақ, онда кез келген қатар тұрған бес сан сапталған тізбек құрайды. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №7. $n$ — натурал сан болсын. Егер әрқайсысы $n$ бүтін саннан тұратын $(a_1,\ldots,a_n)$ және $(b_1,\ldots,b_n)$ тізбектері $|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1$ теңсіздігін қанағаттандырса, онда ондай екі тізбек жұбын ерекше деп атайық. Кез келген екеуі ерекше жұп құрайтын $n$ бүтін саннан құралған ең көп дегенде қанша әртүрлі тізбек бар? ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1) олимпиада