Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2017 год


Задача №1.  Последовательность из пяти целых чисел назовем выстраиваемой, если эти числа можно взять в каком-то порядке и обозначить a, b, c, d, e так, чтобы выполнялось равенство ab+cd+e=29. Найдите все последовательности из 2017 целых чисел n1,n2,,n2017, удовлетворяющие условию: если такую последовательность выписать по кругу по часовой стрелке, то любые пять стоящих подряд чисел будут образовывать выстраиваемую последовательность. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Пусть дан треугольник ABC, в котором AB<AC. Пусть D — точка пересечения биссектрисы угла BAC с описанной окружностью треугольника ABC. Пусть Z — точка пересечения серединного перпендикуляра к AC с внешней биссектрисой угла BAC. Докажите, то середина отрезка AB лежит на описанной окружности треугольника ADZ. ( Equipo Nicaragua )
комментарий/решение(4)
Задача №3.  Пусть A(n) равно количеству последовательностей натуральных чисел a1a2ak, для которых a1++ak=n и ai+1 равно степени двойки для каждого i=1,2,,k. Пусть B(n) равно количеству последовательностей натуральных чисел b1b2bm, для которых b1++bm=n и неравенство bj2bj+1 выполнено для каждого j=1,2,,m1. Докажите, что A(n)=B(n) для всех натуральных n.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Назовем рациональное число r-степенным, если r может быть представлено в виде pkq для некоторых взаимно простых натуральных чисел p,q и некоторого целого k>1. Пусть a,b,c — положительные рациональные числа такие, что abc=1. Известно, что существуют натуральные числа x,y,z такие, что число ax+by+cz целое. Докажите, что числа a,b,c степенные. ( Jeck Lim )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Пусть n — натуральное число. Пару n-ок целых чисел (a1,,an) и (b1,,bn) назовем исключительной, если |a1b1++anbn|1. Найдите наибольшее возможное количество попарно различных n-ок целых чисел, любые две из которых образуют исключительную пару. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)
результаты