Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2017 год

Задача №1.  Последовательность из пяти целых чисел назовем выстраиваемой, если эти числа можно взять в каком-то порядке и обозначить $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ так, чтобы выполнялось равенство $a-b+c-d+e=29$. Найдите все последовательности из $2017$ целых чисел $n_1,n_2,\ldots,n_{2017}$, удовлетворяющие условию: если такую последовательность выписать по кругу по часовой стрелке, то любые пять стоящих подряд чисел будут образовывать выстраиваемую последовательность. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $AB < AC$. Пусть $D$ — точка пересечения биссектрисы угла $BAC$ с описанной окружностью треугольника $ABC$. Пусть $Z$ — точка пересечения серединного перпендикуляра к $AC$ с внешней биссектрисой угла $BAC$. Докажите, то середина отрезка $AB$ лежит на описанной окружности треугольника $ADZ$. ( Equipo Nicaragua )
комментарий/решение(4)

---

Задача №3.  Пусть $A(n)$ равно количеству последовательностей натуральных чисел $a_1\geq a_2\geq \ldots \geq a_k$, для которых $a_1+\ldots+a_k=n$ и $a_i+1$ равно степени двойки для каждого $i=1,2,\ldots,k$. Пусть $B(n)$ равно количеству последовательностей натуральных чисел $b_1\geq b_2\geq \ldots \geq b_m$, для которых $b_1+\ldots+b_m=n$ и неравенство $b_j\geq 2b_{j+1}$ выполнено для каждого $j=1,2,\ldots,m-1$. Докажите, что $A(n)=B(n)$ для всех натуральных $n$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Назовем рациональное число $r$-степенным, если $r$ может быть представлено в виде $\frac{p^k}{q}$ для некоторых взаимно простых натуральных чисел $p,q$ и некоторого целого $k > 1$. Пусть $a,b,c$ — положительные рациональные числа такие, что $abc=1$. Известно, что существуют натуральные числа $x,y,z$ такие, что число $a^x+b^y+c^z$ целое. Докажите, что числа $a,b,c$ степенные. ( Jeck Lim )
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Пусть $n$ — натуральное число. Пару $n$-ок целых чисел $(a_1,\ldots,a_n)$ и $(b_1,\ldots,b_n)$ назовем исключительной, если $$|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1. $$ Найдите наибольшее возможное количество попарно различных $n$-ок целых чисел, любые две из которых образуют исключительную пару. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)

---