Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2017 год
Задача №1. Последовательность из пяти целых чисел назовем выстраиваемой,
если эти числа можно взять в каком-то порядке и обозначить a, b, c, d, e так, чтобы
выполнялось равенство a−b+c−d+e=29. Найдите все последовательности из 2017 целых чисел n1,n2,…,n2017, удовлетворяющие условию:
если такую последовательность выписать по кругу по часовой стрелке, то любые пять стоящих подряд чисел будут образовывать выстраиваемую последовательность.
(
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Пусть дан треугольник ABC, в котором AB<AC.
Пусть D — точка пересечения биссектрисы угла BAC с описанной окружностью треугольника ABC.
Пусть Z — точка пересечения серединного перпендикуляра к AC с внешней биссектрисой угла BAC.
Докажите, то середина отрезка AB лежит на описанной окружности треугольника ADZ.
(
Equipo Nicaragua
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Пусть A(n) равно количеству последовательностей натуральных чисел
a1≥a2≥…≥ak, для
которых a1+…+ak=n и ai+1 равно степени двойки для каждого i=1,2,…,k.
Пусть B(n) равно количеству последовательностей натуральных чисел b1≥b2≥…≥bm,
для которых b1+…+bm=n и неравенство bj≥2bj+1 выполнено для каждого j=1,2,…,m−1.
Докажите, что A(n)=B(n) для всех натуральных n.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Назовем рациональное число r-степенным, если r может быть представлено в виде pkq
для некоторых взаимно простых натуральных чисел p,q и некоторого целого k>1.
Пусть a,b,c — положительные рациональные числа такие, что abc=1.
Известно, что существуют натуральные числа x,y,z такие, что число ax+by+cz целое. Докажите, что числа a,b,c степенные.
(
Jeck Lim
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Пусть n — натуральное число. Пару n-ок целых чисел (a1,…,an) и (b1,…,bn)
назовем исключительной, если
|a1b1+⋯+anbn|≤1.
Найдите наибольшее возможное количество попарно различных n-ок целых чисел,
любые две из которых образуют исключительную пару.
(
Pakawut Jiradilok,
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)