Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2017 жыл

Есеп №1. Бес бүтін сандардан құралған тізбектегі сандарды

$a-b+c-d+e=29$ шарты орындалатындай қандай бір ретпен

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ және

$e$ деп белгілей алсақ, онда ондай тізбекті сапталған тізбек деп атайық. Келесі шартты қанағаттандыратын 2017 бүтін сандардан құралған барлық

$n_1$ ,

$n_2$ ,

$\ldots$ ,

$n_{2017}$ тізбектерін табыңыздар: егер осындай тізбектегі сандарды шеңбер бойымен сағат бағыты бойынша жазып шықсақ, онда кез келген қатар тұрған бес сан сапталған тізбек құрайды. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$AB < AC$ болатын

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$BAC$ бұрышының биссектрисасы

$ABC$ -ға сырттай сызылған шеңберді

$D$ нүктесінде қияды.

$AC$ кесіндісінің орта перпендикуляры

$BAC$ бұрышының сыртқы биссектрисасын

$Z$ нүктесінде қисын.

$AB$ қабырғасының ортасы

$ADZ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Equipo Nicaragua )
комментарий/решение(4)

Есеп №3.

$A(n)$ саны келесі шарттарды қанағаттандыратын натурал сандардан құралған тізбектердің санына тең болсын:

$a_1\geq a_2\geq \ldots \geq a_k$ ,

$a_1+\ldots+a_k=n$ және барлық

$i=1,2,\ldots,k$ үшін

$a_i+1$ саны екінің дәрежесіне тең. Ал

$B(n)$ саны келесі шарттарды қанағаттандыратын натурал сандардан құралған тізбектердің санына тең болсын:

$b_1\geq b_2\geq \ldots \geq b_m$ ,

$b_1+\ldots+b_m=n$ және барлық

$j=1,2,\ldots,m-1$ үшін

$b_j\geq 2b_{j+1}$ теңсіздігі орындалады.
Кез келген натурал

$n$ үшін

$A(n)=B(n)$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Егер қандай да бір өзара жай

$p,q$ және

${k > 1}$ натурал сандары үшін рационал

$r$ санын

$\dfrac{p^k}{q}$ түрінде келтіруге болса, онда

$r$ санын дәрежелі сан деп атайық.

$a,b,c$ сандары

$abc=1$ шартын қанағаттандыратын оң рационал сандар болсын.

$a^x+b^y+c^z$ қосындысы бүтін болатындай натурал

$x,y,z$ сандарының табылатыны белгілі.

$a,b,c$ сандарының дәрежелі сандар екенін дәлелдеңіздер. ( Jeck Lim )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$n$ — натурал сан болсын. Егер әрқайсысы

$n$ бүтін саннан тұратын

$(a_1,\ldots,a_n)$ және

$(b_1,\ldots,b_n)$ тізбектері

$|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1$ теңсіздігін қанағаттандырса, онда ондай екі тізбек жұбын ерекше деп атайық. Кез келген екеуі ерекше жұп құрайтын

$n$ бүтін саннан құралған ең көп дегенде қанша әртүрлі тізбек бар? ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)

результаты