қазақша
русскийАзия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2017 жыл
Есеп №1. Бес бүтін сандардан құралған тізбектегі сандарды $a-b+c-d+e=29$ шарты орындалатындай қандай бір ретпен $a$, $b$, $c$, $d$ және $e$ деп белгілей алсақ, онда ондай тізбекті сапталған тізбек деп атайық. Келесі шартты қанағаттандыратын 2017 бүтін сандардан құралған барлық $n_1$, $n_2$, $\ldots$, $n_{2017}$ тізбектерін табыңыздар: егер осындай тізбектегі сандарды шеңбер бойымен сағат бағыты бойынша жазып шықсақ, онда кез келген қатар тұрған бес сан сапталған тізбек құрайды.
(
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2.
$AB < AC$ болатын $ABC$ үшбұрышы берілген. $BAC$ бұрышының биссектрисасы $ABC$-ға сырттай сызылған шеңберді $D$ нүктесінде қияды. $AC$ кесіндісінің орта перпендикуляры $BAC$ бұрышының сыртқы биссектрисасын $Z$ нүктесінде қисын. $AB$ қабырғасының ортасы $ADZ$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіз.
(
Equipo Nicaragua
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №3. $A(n)$ саны келесі шарттарды қанағаттандыратын натурал сандардан құралған тізбектердің санына тең болсын: $a_1\geq a_2\geq \ldots \geq a_k$, $a_1+\ldots+a_k=n$ және барлық $i=1,2,\ldots,k$ үшін $a_i+1$ саны екінің дәрежесіне тең. Ал $B(n)$ саны келесі шарттарды қанағаттандыратын натурал сандардан құралған тізбектердің санына тең болсын: $b_1\geq b_2\geq \ldots \geq b_m$, $b_1+\ldots+b_m=n$ және барлық $j=1,2,\ldots,m-1$ үшін $b_j\geq 2b_{j+1}$ теңсіздігі орындалады.
Кез келген натурал $n$ үшін $A(n)=B(n)$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Кез келген натурал $n$ үшін $A(n)=B(n)$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Егер қандай да бір өзара жай $p,q$ және ${k > 1}$ натурал сандары үшін рационал $r$ санын $\dfrac{p^k}{q}$ түрінде келтіруге болса, онда $r$ санын дәрежелі сан деп атайық. $a,b,c$ сандары $abc=1$ шартын қанағаттандыратын оң рационал сандар болсын. $a^x+b^y+c^z$ қосындысы бүтін болатындай натурал $x,y,z$ сандарының табылатыны белгілі. $a,b,c$ сандарының дәрежелі сандар екенін дәлелдеңіздер.
(
Jeck Lim
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $n$ — натурал сан болсын. Егер әрқайсысы $n$ бүтін саннан тұратын $(a_1,\ldots,a_n)$ және $(b_1,\ldots,b_n)$ тізбектері $|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1$ теңсіздігін қанағаттандырса, онда ондай екі тізбек жұбын ерекше деп атайық. Кез келген екеуі ерекше жұп құрайтын $n$ бүтін саннан құралған ең көп дегенде қанша әртүрлі тізбек бар?
(
Pakawut Jiradilok,
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)