Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2017 год


Назовем рациональное число r-степенным, если r может быть представлено в виде pkq для некоторых взаимно простых натуральных чисел p,q и некоторого целого k>1. Пусть a,b,c — положительные рациональные числа такие, что abc=1. Известно, что существуют натуральные числа x,y,z такие, что число ax+by+cz целое. Докажите, что числа a,b,c степенные. ( Jeck Lim )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   5
4 года 6 месяца назад #

Лемма 1: Дано qQ+ и rN>1. Если для любого простого p такого, что vp(q)>0 верно, что rvp(q), то q степенное.

Доказательство: Пусть q=mn, где m,nN и gcd(m,n)=1.

Тогда vp(q)>0pm, значит pm, где pP верно, что rvp(m), откуда m=Mr, где MN.

Лемма 2: Если vp(a)>0,pP, то a1vp(a), для некоторой константы a1>1.

Доказательство: Рассмотрим простое число p такое, что vp(a)>0. Тогда vp(a)+vp(b)+vp(c)=vp(abc)=0

Без ог. общности примем, что vp(c)<0. Если vp(b)0, то 0vp(ax+by+cz)=zvp(c)<0

поэтому vp(b)<0. Тогда если vp(by)vp(cz), то 0vp(ax+by+cz)=min{vp(by),vp(cz)}<0

откуда vp(by)=vp(cz)yvp(b)=zvp(c) vp(b)=sz1,vp(c)=sy1,

где y1=ygcd(y,z), z1=zgcd(y,z) и sN.

Следовательно vp(a)=(vp(b)+vp(c))=s(y1+z1)

Значит если vp(a)>0, то 1<y1+z1=a1vp(a).

Из этих двух Лемм следует требуемое.