Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2017 год
Комментарий/решение:
Лемма 1: Дано q∈Q+ и r∈N>1. Если для любого простого p такого, что vp(q)>0 верно, что r∣vp(q), то q− степенное.
Доказательство: Пусть q=mn, где m,n∈N и gcd(m,n)=1.
Тогда vp(q)>0⟺p∣m, значит ∀p∣m, где p∈P верно, что r∣vp(m), откуда m=Mr, где M∈N.◻
Лемма 2: Если vp(a)>0,p∈P, то a1∣vp(a), для некоторой константы a1>1.
Доказательство: Рассмотрим простое число p такое, что vp(a)>0. Тогда vp(a)+vp(b)+vp(c)=vp(abc)=0
Без ог. общности примем, что vp(c)<0. Если vp(b)≥0, то 0≤vp(ax+by+cz)=z⋅vp(c)<0
поэтому vp(b)<0. Тогда если vp(by)≠vp(cz), то 0≤vp(ax+by+cz)=min{vp(by),vp(cz)}<0
откуда vp(by)=vp(cz)⟹y⋅vp(b)=z⋅vp(c) ⟹vp(b)=−s⋅z1,vp(c)=−s⋅y1,
где y1=ygcd(y,z), z1=zgcd(y,z) и s∈N.
Следовательно vp(a)=−(vp(b)+vp(c))=s(y1+z1)
Значит если vp(a)>0, то 1<y1+z1=a1∣vp(a).◻
Из этих двух Лемм следует требуемое.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.