Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2017 год
Последовательность из пяти целых чисел назовем выстраиваемой,
если эти числа можно взять в каком-то порядке и обозначить a, b, c, d, e так, чтобы
выполнялось равенство a−b+c−d+e=29. Найдите все последовательности из 2017 целых чисел n1,n2,…,n2017, удовлетворяющие условию:
если такую последовательность выписать по кругу по часовой стрелке, то любые пять стоящих подряд чисел будут образовывать выстраиваемую последовательность.
(
Warut Suksompong
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: (n1,…,n2017)=(29,…,29)
Заменим ni=xi+29,i=1,…,2017.(xk=xk+2017,∀k∈N)
Тогда a−b+c−d+e=0, где (a,b,c,d,e)=(xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4)
Откуда 0≡a−b+c−d+e≡a+b+c+d+e≡ ≡xi+xi+1+xi+2+xi+3+xi+4(mod2)
Пусть Ai=xi+xi−1+xi−2+xi−3+xi−4 ⋮ 2, значит xi+5−xi≡Ai+5−Ai+4≡0(mod2)
⟹xi≡xi+5(mod2)
Так как (2017,5)=1, то xi≡xj(mod2),∀i,j=1,…,2017
⟹2∣xi,∀i=1,…,2017, тогда можно заменить xi=2⋅yi.
Тогда аналогично 2∣y1⟹2n∣xi,∀n∈N⟹xi=0,i=1,…,2017.◻
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.