Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2017 год


Последовательность из пяти целых чисел назовем выстраиваемой, если эти числа можно взять в каком-то порядке и обозначить a, b, c, d, e так, чтобы выполнялось равенство ab+cd+e=29. Найдите все последовательности из 2017 целых чисел n1,n2,,n2017, удовлетворяющие условию: если такую последовательность выписать по кругу по часовой стрелке, то любые пять стоящих подряд чисел будут образовывать выстраиваемую последовательность. ( Warut Suksompong )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   5
4 года 1 месяца назад #

Ответ: (n1,,n2017)=(29,,29)

Заменим ni=xi+29,i=1,,2017.(xk=xk+2017,kN)

Тогда ab+cd+e=0, где (a,b,c,d,e)=(xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4)

Откуда 0ab+cd+ea+b+c+d+e xi+xi+1+xi+2+xi+3+xi+4(mod2)

Пусть Ai=xi+xi1+xi2+xi3+xi4  2, значит xi+5xiAi+5Ai+40(mod2)

xixi+5(mod2)

Так как (2017,5)=1, то xixj(mod2),i,j=1,,2017

2xi,i=1,,2017, тогда можно заменить xi=2yi.

Тогда аналогично 2y12nxi,nNxi=0,i=1,,2017.

пред. Правка 2   1
2 года назад #