Processing math: 62%

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2017 жыл


Бес бүтін сандардан құралған тізбектегі сандарды ab+cd+e=29 шарты орындалатындай қандай бір ретпен a, b, c, d және e деп белгілей алсақ, онда ондай тізбекті сапталған тізбек деп атайық. Келесі шартты қанағаттандыратын 2017 бүтін сандардан құралған барлық n1, n2, , n2017 тізбектерін табыңыздар: егер осындай тізбектегі сандарды шеңбер бойымен сағат бағыты бойынша жазып шықсақ, онда кез келген қатар тұрған бес сан сапталған тізбек құрайды. ( Warut Suksompong )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   5
4 года 1 месяца назад #

Ответ: (n1,,n2017)=(29,,29)

Заменим ni=xi+29,i=1,,2017.(xk=xk+2017,kN)

Тогда ab+cd+e=0, где (a,b,c,d,e)=(xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4)

Откуда 0ab+cd+ea+b+c+d+e \equiv x_i+x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4}\pmod 2

Пусть A_i=x_i+x_{i-1}+x_{i-2}+x_{i-3}+x_{i-4} \ \vdots \ 2, значит x_{i+5}-x_i\equiv A_{i+5}-A_{i+4}\equiv 0\pmod 2

\implies x_i\equiv x_{i+5}\pmod 2

Так как (2017,5)=1, то x_i\equiv x_j\pmod 2,\forall i,j=1,\ldots,2017

\implies 2\mid x_i,\forall i=1,\ldots,2017, тогда можно заменить x_i=2\cdot y_i.

Тогда аналогично 2\mid y_1\implies 2^n\mid x_i,\forall n\in\mathbb N\implies x_i=0, i=1,\ldots,2017.\quad\square

пред. Правка 2   1
2 года назад #