Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2017 жыл
Бес бүтін сандардан құралған тізбектегі сандарды a−b+c−d+e=29 шарты орындалатындай қандай бір ретпен a, b, c, d және e деп белгілей алсақ, онда ондай тізбекті сапталған тізбек деп атайық. Келесі шартты қанағаттандыратын 2017 бүтін сандардан құралған барлық n1, n2, …, n2017 тізбектерін табыңыздар: егер осындай тізбектегі сандарды шеңбер бойымен сағат бағыты бойынша жазып шықсақ, онда кез келген қатар тұрған бес сан сапталған тізбек құрайды.
(
Warut Suksompong
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: (n1,…,n2017)=(29,…,29)
Заменим ni=xi+29,i=1,…,2017.(xk=xk+2017,∀k∈N)
Тогда a−b+c−d+e=0, где (a,b,c,d,e)=(xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4)
Откуда 0≡a−b+c−d+e≡a+b+c+d+e≡ \equiv x_i+x_{i+1}+x_{i+2}+x_{i+3}+x_{i+4}\pmod 2
Пусть A_i=x_i+x_{i-1}+x_{i-2}+x_{i-3}+x_{i-4} \ \vdots \ 2, значит x_{i+5}-x_i\equiv A_{i+5}-A_{i+4}\equiv 0\pmod 2
\implies x_i\equiv x_{i+5}\pmod 2
Так как (2017,5)=1, то x_i\equiv x_j\pmod 2,\forall i,j=1,\ldots,2017
\implies 2\mid x_i,\forall i=1,\ldots,2017, тогда можно заменить x_i=2\cdot y_i.
Тогда аналогично 2\mid y_1\implies 2^n\mid x_i,\forall n\in\mathbb N\implies x_i=0, i=1,\ldots,2017.\quad\square
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.