Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2017 год
Комментарий/решение:
Пусть точки M,N,K середины отрезков BC,CA,AB соответственно.
Из условия \angle DAZ=90°, \angle ANZ=90°, \angle DMC=90°, AZ=CZ.
Так как KN\parallel BC\implies \angle ANK=\angle ACB.
Тогда \angle ZNK=\angle ANZ+\angle ANK=90°+\angle ACB.
Заметим, что \angle ZCD=\angle ACB+ \angle BCD+\angle ZCA=\angle ACB+ \angle CAD+\angle ZAC= =\angle ACB +90°.
Значит \angle ZNK=\angle ZCD.\quad (\mathrm{i})
Легко понять, что \angle BCD=\angle CZN
Отметим, что \dfrac{KN}{CD}=\dfrac{MC}{CD}=\cos\angle BCD=\cos\angle CZN=\dfrac{ZN}{ZC}
\implies \dfrac{KN}{CD}=\dfrac{ZN}{ZC}\quad\mathrm{(ii)}
Из \mathrm{(i)} и \mathrm{(ii)}\implies\triangle ZNK \equiv\triangle ZCD.
Тогда \angle KZD=\angle NZC и \dfrac{ZK}{ZD}=\dfrac{ZN}{ZC}, откуда \triangle ZKD\equiv \triangle ZNC
\implies \angle ZKD=\angle ZNC=90°
Значит \angle ZKD=\angle ZAD=90°, следовательно A,Z,D,K- лежат на одной окружности.\quad\square
Примечание: Равенство \dfrac{MC}{CD}=\dfrac{ZN}{ZC} можно было доказать заметив подобие: \triangle MCD\equiv \triangle NZC
давайте назовем середину AC как N а также середину AB за M тогда продлим
MN до пересечения с прямой DC и назовем точку пересечения S тогда по параллельности прямых MN и BC заметим равенство \angle DAC=\angle BCD=
=\angle NSD но так как \angle DAZ=90 следует что \angle DAC=\angle AZN=
=\angle NZC из следствия что AZ=ZC тогда \angle NZC=\angle NSC откуда следует что N;Z;S;C -лежат на одной окружности откуда следует что \angle ZSC=90 откуда S;D;A;Z -лежат на одной окружности но из следствия равенства \angle BAD=\angle MSD M;A;S;D -лежат на одной окружности отсюда следует что M лежит на описанной \triangle AZD
M середина AB N середина AC
Продлим MD до D_1 так что MDD_1B параллелограмм
Тогда заметим что \angle AD_1B=\angle ADB,\angle D_1BA= \angle BAD тогда \angle D_1AZ = \angle ZCD =\angle ZNM
Тогда треугольники D_1AZ ,DZC равны тогда D_1Z=DZ тогда ZM перпендикулярно D_1D откуда M,A,Z,D на одной окружности
Инверсия+симетрия в A и r^2=AB*AC + гомотетия с коэф \frac{1}{2} задача переходит в такую:
В треугольнике ABC провели бисектрису AH, G основание внешней бисектрисы и F основая высотв из B на AG. Если E середина AH тогда F-E-C.
Док-во:
Заметим что FB||AH и пусть AH \cap FB=Pи пусть FC \cap AH=E’ тогда
-1 = (G,H;B,C) \stackrel{F}{=} (A,H;P,E’) а так как P точка на бесконечности отсюда E=E’
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.