Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2017 год


Пусть дан треугольник ABC, в котором AB<AC. Пусть D — точка пересечения биссектрисы угла BAC с описанной окружностью треугольника ABC. Пусть Z — точка пересечения серединного перпендикуляра к AC с внешней биссектрисой угла BAC. Докажите, то середина отрезка AB лежит на описанной окружности треугольника ADZ. ( Equipo Nicaragua )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
4 года 7 месяца назад #

Пусть точки M,N,K середины отрезков BC,CA,AB соответственно.

Из условия DAZ=90°, ANZ=90°, DMC=90°, AZ=CZ.

Так как KNBCANK=ACB.

Тогда ZNK=ANZ+ANK=90°+ACB.

Заметим, что ZCD=ACB+BCD+ZCA=ACB+CAD+ZAC= =ACB+90°.

Значит ZNK=ZCD.(i)

Легко понять, что BCD=CZN

Отметим, что KNCD=MCCD=cosBCD=cosCZN=ZNZC

KNCD=ZNZC(ii)

Из (i) и (ii)ZNKZCD.

Тогда KZD=NZC и ZKZD=ZNZC, откуда ZKDZNC

ZKD=ZNC=90°

Значит ZKD=ZAD=90°, следовательно A,Z,D,K лежат на одной окружности.

Примечание: Равенство MCCD=ZNZC можно было доказать заметив подобие: MCDNZC

  0
2 года назад #

давайте назовем середину AC как N а также середину AB за M тогда продлим

MN до пересечения с прямой DC и назовем точку пересечения S тогда по параллельности прямых MN и BC заметим равенство DAC=BCD=

=NSD но так как DAZ=90 следует что DAC=AZN=

=NZC из следствия что AZ=ZC тогда NZC=NSC откуда следует что N;Z;S;C -лежат на одной окружности откуда следует что ZSC=90 откуда S;D;A;Z -лежат на одной окружности но из следствия равенства BAD=MSD M;A;S;D -лежат на одной окружности отсюда следует что M лежит на описанной AZD

  4
1 года 5 месяца назад #

M середина AB N середина AC

Продлим MD до D1 так что MDD1B параллелограмм

Тогда заметим что AD1B=ADB,D1BA=BAD тогда D1AZ=ZCD=ZNM

Тогда треугольники D1AZ,DZC равны тогда D1Z=DZ тогда ZM перпендикулярно D1D откуда M,A,Z,D на одной окружности

  1
7 месяца назад #

Инверсия+симетрия в A и r2=ABAC + гомотетия с коэф 12 задача переходит в такую:

В треугольнике ABC провели бисектрису AH, G основание внешней бисектрисы и F основая высотв из B на AG. Если E середина AH тогда FEC.

Док-во:

Заметим что FB||AH и пусть AHFB=Pи пусть FCAH=E тогда

1=(G,H;B,C)F=(A,H;P,E) а так как P точка на бесконечности отсюда E=E