Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2015 год
Задача №1. На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D. Прямая, проходящая через D, пересекает отрезок AB и луч AC в точках X и Y соответственно.
Окружность, описанная около треугольника BXD, пересекает окружность ω, описанную около треугольника ABC, вторично в точке Z, отличной от B.
Прямые ZD и ZY пересекают ω вторично в точках V и W соответственно.
Докажите, что AB=VW.
(
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Пусть S={2,3,4,…} — множество всех целых чисел, не меньших 2.
Существует ли функция f:S→S, для которой
при всех a,b∈S таких, что a≠b, выполнено равенство
f(a)f(b)=f(a2b2)?
(
Angelo Di Pasquale
)
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Задача №3. Последовательность действительных чисел a0,a1,… будем называть хорошей, если выполняются
следующие три условия.
(i) a0 — натуральное число.
(ii) Для каждого целого неотрицательного i выполнено хотя бы одно из равенств ai+1=2ai+1, ai+1=aiai+2.
(iii) Существует натуральное k такое, что ak=2014.
Найдите наименьшее натуральное n такое, что существует хорошая последовательность a0,a1,… действительных чисел, для которой an=2014. ( Wang Wei Hua )
комментарий/решение(1)
(i) a0 — натуральное число.
(ii) Для каждого целого неотрицательного i выполнено хотя бы одно из равенств ai+1=2ai+1, ai+1=aiai+2.
(iii) Существует натуральное k такое, что ak=2014.
Найдите наименьшее натуральное n такое, что существует хорошая последовательность a0,a1,… действительных чисел, для которой an=2014. ( Wang Wei Hua )
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть n — натуральное число. Даны 2n различных прямых на плоскости, среди которых нет двух параллельных.
Некоторые n из этих 2n прямых покрашены синим, а оставшиеся n прямых покрашены красным. Через B обозначим множество всех точек
плоскости, принадлежащих хотя бы одной синей прямой, а через
R обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной красной прямой.
Докажите, что существует окружность, которая имеет с множеством B ровно 2n−1 общих точек и
с множеством R тоже имеет ровно 2n−1 общих точек.
(
Pakawut Jiradilok,
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Найдите все последовательности a0,a1,a2,…, состоящие из натуральных чисел, такие что a0⩾ и при всех натуральных n\geqslant 1
выполняются следующие условия:
(i) a_{n+2} делится на a_n;
(ii) |s_{n+1}-(n+1)a_n|=1, где s_{n+1} = a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\ldots +(-1)^{n+1}a_0. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)
(i) a_{n+2} делится на a_n;
(ii) |s_{n+1}-(n+1)a_n|=1, где s_{n+1} = a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\ldots +(-1)^{n+1}a_0. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)