Processing math: 88%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2015 год


Задача №1.  На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D. Прямая, проходящая через D, пересекает отрезок AB и луч AC в точках X и Y соответственно. Окружность, описанная около треугольника BXD, пересекает окружность ω, описанную около треугольника ABC, вторично в точке Z, отличной от B. Прямые ZD и ZY пересекают ω вторично в точках V и W соответственно. Докажите, что AB=VW. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(3)
Задача №2.  Пусть S={2,3,4,} — множество всех целых чисел, не меньших 2. Существует ли функция f:SS, для которой при всех a,bS таких, что ab, выполнено равенство f(a)f(b)=f(a2b2)? ( Angelo Di Pasquale )
комментарий/решение(8)
Задача №3.  Последовательность действительных чисел a0,a1, будем называть хорошей, если выполняются следующие три условия.
(i) a0 — натуральное число.
(ii) Для каждого целого неотрицательного i выполнено хотя бы одно из равенств ai+1=2ai+1, ai+1=aiai+2.
(iii) Существует натуральное k такое, что ak=2014.
Найдите наименьшее натуральное n такое, что существует хорошая последовательность a0,a1, действительных чисел, для которой an=2014. ( Wang Wei Hua )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть n — натуральное число. Даны 2n различных прямых на плоскости, среди которых нет двух параллельных. Некоторые n из этих 2n прямых покрашены синим, а оставшиеся n прямых покрашены красным. Через B обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной синей прямой, а через R обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной красной прямой. Докажите, что существует окружность, которая имеет с множеством B ровно 2n1 общих точек и с множеством R тоже имеет ровно 2n1 общих точек. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)
Задача №5.  Найдите все последовательности a0,a1,a2,, состоящие из натуральных чисел, такие что a0 и при всех натуральных n\geqslant 1 выполняются следующие условия:
(i) a_{n+2} делится на a_n;
(ii) |s_{n+1}-(n+1)a_n|=1, где s_{n+1} = a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\ldots +(-1)^{n+1}a_0. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)
результаты