Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2015 год


Пусть n — натуральное число. Даны 2n различных прямых на плоскости, среди которых нет двух параллельных. Некоторые n из этих 2n прямых покрашены синим, а оставшиеся n прямых покрашены красным. Через B обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной синей прямой, а через R обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной красной прямой. Докажите, что существует окружность, которая имеет с множеством B ровно 2n1 общих точек и с множеством R тоже имеет ровно 2n1 общих точек. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Рассмотрим прямую на плоскости и такую точку P на ней, что не параллельна никакой из 2n наших прямых. Будем поворачивать относительно P против часовой стрелки, пока она не станет параллельной одной из 2n прямых. Запомним эту прямую и продолжим такие вращения, пока не переберем все прямые. Теперь все наши 2n прямых упорядочены по мере того, как они нами выбирались. Обозначим их через 1, , 2n. Ясно, что существуют такие k{1,,2n1}, что k и k+1 разного цвета.

Введем на плоскости систему координат с осями OX и OY. Рассмотрим две биссектрисы углов между k и k+1. Если поворачивать k+1 против часовой стрелки, прямая станет параллельной одной из биссектрис раньше, чем станет параллельной другой. Пусть эта биссектриса осью OX, а другая — осью OY. Используем ориентированные углы: для прямых s и s определим (s,s) как вещественное число [0,π), обозначающее в радианах такой угол, что когда s поворачивается против часовой стрелки на угол (s,s) радиан, она становится параллельной s. Заметим, что не существует такого i=1,,2n, что (X,li) лежит между (X,k) и (X,k+1).
Поскольку все 2n прямых различны, множество S всех точек пересечения i и j(ij) конечно. Рассмотрим прямоугольник с двумя противоположными вершинами, лежащими на k, и двумя другими вершинами, лежащими на k+1. Ясно, что можно увеличивать длины сторон этого прямоугольника до бесконечности. Поэтому существует такой прямоугольник R, который содержит все точки из S внутри себя. Поскольку стороны R параллельны осям координат, R ограничен прямыми x=±a, y=±b, где a, b>0.
Рассмотрим окружность C, касающуюся справа стороны прямоугольника, лежащей на x=a, а также касающуюся k и k+1. Докажем, что эта окружность пересекает B ровно в 2n1 точках и R — ровно в 2n1 точках.
Поскольку C касается k и k+1, причем эти прямые разного цвета, достаточно показать, что C пересекается с любой другой из 2n2 прямых ровно в двух точках. Заметим, что никакие две прямые не пересекаются на окружности, поскольку их точки пересечения лежат в S, которое находится внутри R.
Возьмем любую прямую L из этих 2n2 прямых. Пусть L пересекает k и k+1 в точках M и N, соответственно (M и N могут и совпадать). Заметим, что M и N лежат внутри R. Возможны два случая:
(i) L пересекает R на x=a и на x=a;
(ii) L пересекает R на y=b и на y=b.
Если выполнено (ii), (k,L) и (L,k+1) оба должны быть положительными, и поэтому (X,L) должен находиться между (X,k) и (X,k+1), что приводит к противоречию. Следовательно, выполнено (i). Тогда L пересекает C ровно в двух точках.