Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2015 год
Пусть n — натуральное число. Даны 2n различных прямых на плоскости, среди которых нет двух параллельных.
Некоторые n из этих 2n прямых покрашены синим, а оставшиеся n прямых покрашены красным. Через B обозначим множество всех точек
плоскости, принадлежащих хотя бы одной синей прямой, а через
R обозначим множество всех точек плоскости, принадлежащих хотя бы одной красной прямой.
Докажите, что существует окружность, которая имеет с множеством B ровно 2n−1 общих точек и
с множеством R тоже имеет ровно 2n−1 общих точек.
(
Pakawut Jiradilok,
Warut Suksompong
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Рассмотрим прямую ℓ на плоскости и такую точку P на ней, что ℓ не параллельна никакой из 2n наших прямых. Будем поворачивать ℓ относительно P против часовой стрелки, пока она не станет параллельной одной из 2n прямых. Запомним эту прямую и продолжим такие вращения, пока не переберем все прямые. Теперь все наши 2n прямых упорядочены по мере того, как они нами выбирались. Обозначим их через ℓ1, …, ℓ2n. Ясно, что существуют такие k∈{1,…,2n−1}, что ℓk и ℓk+1 разного цвета.
Поскольку все 2n прямых различны, множество S всех точек пересечения ℓi и ℓj(i≠j) конечно. Рассмотрим прямоугольник с двумя противоположными вершинами, лежащими на ℓk, и двумя другими вершинами, лежащими на ℓk+1. Ясно, что можно увеличивать длины сторон этого прямоугольника до бесконечности. Поэтому существует такой прямоугольник R, который содержит все точки из S внутри себя. Поскольку стороны R параллельны осям координат, R ограничен прямыми x=±a, y=±b, где a, b>0.
Рассмотрим окружность C, касающуюся справа стороны прямоугольника, лежащей на x=a, а также касающуюся ℓk и ℓk+1. Докажем, что эта окружность пересекает B ровно в 2n−1 точках и R — ровно в 2n−1 точках.
Поскольку C касается ℓk и ℓk+1, причем эти прямые разного цвета, достаточно показать, что C пересекается с любой другой из 2n−2 прямых ровно в двух точках. Заметим, что никакие две прямые не пересекаются на окружности, поскольку их точки пересечения лежат в S, которое находится внутри R.
Возьмем любую прямую L из этих 2n−2 прямых. Пусть L пересекает ℓk и ℓk+1 в точках M и N, соответственно (M и N могут и совпадать). Заметим, что M и N лежат внутри R. Возможны два случая:
(i) L пересекает R на x=−a и на x=a;
(ii) L пересекает R на y=−b и на y=b.
Если выполнено (ii), ∠(ℓk,L) и ∠(L,ℓk+1) оба должны быть положительными, и поэтому ∠(X,L) должен находиться между ∠(X,ℓk) и ∠(X,ℓk+1), что приводит к противоречию. Следовательно, выполнено (i). Тогда L пересекает C ровно в двух точках.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.