Решения: Дистанционные олимпиады, Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2015 жыл

$n$ — натурал сан болсын. Ешқандай екеуі параллель болмайтын жазықтықтағы әртүрлі

$2n$ түзуді қарастырайық.

$2n$ түзудің

$n$ түзуі көк, ал қалғаны қызыл түске боялған. Әр нүктесі кемінде бір көк түзуде жататын нүктелер жиынын

$\mathcal{B}$ арқылы, ал әр нүктесі кемінде бір қызыл түзуде жататын нүктелер жиынын

$\mathcal{R}$ арқылы белгілейік.

$\mathcal{B}$ -ның дәл

$2n-1$ нүктесі мен

$\mathcal{R}$ -дің дәл

$2n-1$ нүктесі қандай да бір шеңбердің бойында жататын шеңбер табылатынын дәлелдеңіздер. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Рассмотрим прямую $\ell$ на плоскости и такую точку $P$ на ней, что $\ell$ не параллельна никакой из $2n$ наших прямых. Будем поворачивать $\ell$ относительно $P$ против часовой стрелки, пока она не станет параллельной одной из $2n$ прямых. Запомним эту прямую и продолжим такие вращения, пока не переберем все прямые. Теперь все наши $2n$ прямых упорядочены по мере того, как они нами выбирались. Обозначим их через $\ell_1$ , $\ldots$ , $\ell_{2n}$ . Ясно, что существуют такие $k \in {\{1, \ldots, 2n - 1\}}$ , что $\ell_k$ и $\ell_{k+1}$ разного цвета.

Введем на плоскости систему координат с осями

$OX$ и

$OY$ . Рассмотрим две биссектрисы углов между

$\ell_k$ и

$\ell_{k+1}$ . Если поворачивать

$\ell_{k+1}$ против часовой стрелки, прямая станет параллельной одной из биссектрис раньше, чем станет параллельной другой. Пусть эта биссектриса осью

$OX$ , а другая — осью

$OY$ . Используем ориентированные углы: для прямых

$s$ и

$s'$ определим

$\angle (s,s')$ как вещественное число

$[0, \pi)$ , обозначающее в радианах такой угол, что когда

$s$ поворачивается против часовой стрелки на угол

$\angle (s,s')$ радиан, она становится параллельной

$s'$ . Заметим, что не существует такого

$i=1, \ldots, 2n$ , что

$\angle (X, l_i)$ лежит между

$\angle (X,\ell_k)$ и

$\angle (X, \ell_{k+1})$ .
Поскольку все

$2n$ прямых различны, множество

$S$ всех точек пересечения

$\ell_i$ и

$\ell_j (i \ne j)$ конечно. Рассмотрим прямоугольник с двумя противоположными вершинами, лежащими на

$\ell_k$ , и двумя другими вершинами, лежащими на

$\ell_{k+1}$ . Ясно, что можно увеличивать длины сторон этого прямоугольника до бесконечности. Поэтому существует такой прямоугольник

$R$ , который содержит все точки из

$S$ внутри себя. Поскольку стороны

${R}$ параллельны осям координат,

${R}$ ограничен прямыми

$x=\pm a$ ,

$y=\pm b$ , где

$a,\ b > 0$ .
Рассмотрим окружность

$\mathcal{C}$ , касающуюся справа стороны прямоугольника, лежащей на

$x=a$ , а также касающуюся

$\ell_k$ и

$\ell_{k+1}$ . Докажем, что эта окружность пересекает

$\mathcal{B}$ ровно в

$2n - 1$ точках и

$\mathcal{R}$ — ровно в

${2n - 1}$ точках.
Поскольку

$\mathcal{C}$ касается

$\ell_k$ и

$\ell_{k+1}$ , причем эти прямые разного цвета, достаточно показать, что

$\mathcal{C}$ пересекается с любой другой из

${2n - 2}$ прямых ровно в двух точках. Заметим, что никакие две прямые не пересекаются на окружности, поскольку их точки пересечения лежат в

$S$ , которое находится внутри

${R}$ .
Возьмем любую прямую

$L$ из этих

${2n - 2}$ прямых. Пусть

$L$ пересекает

$\ell_k$ и

$\ell_{k+1}$ в точках

$M$ и

$N$ , соответственно (

$M$ и

$N$ могут и совпадать). Заметим, что

$M$ и

$N$ лежат внутри

$R$ . Возможны два случая:

$\quad$ (i)

$L$ пересекает

$R$ на

$x = -a$ и на

$x = a$ ;

$\quad$ (ii)

$L$ пересекает

$R$ на

$y = -b$ и на

$y = b$ .
Если выполнено (ii),

$\angle(\ell_k,L)$ и

$\angle(L,\ell_{k+1})$ оба должны быть положительными, и поэтому

$\angle(X, L)$ должен находиться между

$\angle(X, \ell_k)$ и

$\angle(X, \ell_{k+1})$ , что приводит к противоречию. Следовательно, выполнено (i). Тогда

$L$ пересекает

$\mathcal{C}$ ровно в двух точках.