Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2015 жыл

Есеп №1.

$D$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасында жатыр.

$D$ арқылы өтетін түзу

$AB$ қабырғасын

$X$ , ал

$AC$ сәулесін

$Y$ нүктелерінде қияды.

$BXD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\omega$ шеңберін екінші рет

$Z\ne B$ нүктесінде қияды.

$ZD$ және

$ZY$ түзулері

$\omega$ -ны екінші рет сәйкесінше

$V$ және

$W$ нүктелерінде қияды.

$AB=VW$ екенін дәлелдеңіздер. ( Warut Suksompong )
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$S = \{2,3,4,\ldots \}$ арқылы әрқайсысы екіден кем емес болатын барлық бүтін сандар жиынын белгілейік. Кез келген

$a, b \in S$ (

$a \ne b$ ) үшін

$f(a)f(b) = f(a^2b^2)$ шартын қанағаттандыратын

$f: S \to S$ функциясы бар ма? ( Angelo Di Pasquale )
комментарий/решение(8)

Есеп №3. Егер

$a_0,a_1,\ldots$ нақты сандар тізбегі үшін келесі шарттар орындалса, онда ондай тізбекті {\em жақсы} тізбек деп айтамыз:
(i)

$a_0$ — натурал сан;
(ii) кез келген теріс емес бүтін

$i$ үшін

$a_{i+1}=2a_i+1$ немесе

$a_{i+1}=\dfrac{a_i}{a_i+2}$ қатынастары орындалады;
(iii)

$a_k=2014$ болатындай натурал

$k$ саны табылады.
Жақсы

$a_0,a_1,\ldots$ тізбегі бар болатындай және

$a_n=2014$ теңдігі орындалатындай ең кіші натурал

$n$ санын табыңыз. ( Wang Wei Hua )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$n$ — натурал сан болсын. Ешқандай екеуі параллель болмайтын жазықтықтағы әртүрлі

$2n$ түзуді қарастырайық.

$2n$ түзудің

$n$ түзуі көк, ал қалғаны қызыл түске боялған. Әр нүктесі кемінде бір көк түзуде жататын нүктелер жиынын

$\mathcal{B}$ арқылы, ал әр нүктесі кемінде бір қызыл түзуде жататын нүктелер жиынын

$\mathcal{R}$ арқылы белгілейік.

$\mathcal{B}$ -ның дәл

$2n-1$ нүктесі мен

$\mathcal{R}$ -дің дәл

$2n-1$ нүктесі қандай да бір шеңбердің бойында жататын шеңбер табылатынын дәлелдеңіздер. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$a_0 \geq 2015$ және кез келген бүтін

$n\geq 1$ үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық

$a_0$ ,

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ натурал сандар тізбегін табыңыздар:
(i)

$a_{n+2}$ саны

$a_n$ санына бөлінеді;
(ii)

$|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$ , бұл жерде

$s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\dots+(-1)^{n+1}a_0$ . ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)

результаты