қазақша
русскийАзия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2015 жыл
Есеп №1. $D$ нүктесі $ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасында жатыр. $D$ арқылы өтетін түзу $AB$ қабырғасын $X$, ал $AC$ сәулесін $Y$ нүктелерінде қияды. $BXD$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберін екінші рет $Z\ne B$ нүктесінде қияды. $ZD$ және $ZY$ түзулері $\omega$-ны екінші рет сәйкесінше $V$ және $W$ нүктелерінде қияды. $AB=VW$ екенін дәлелдеңіздер.
(
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $S = \{2,3,4,\ldots \}$ арқылы әрқайсысы екіден кем емес болатын барлық бүтін сандар жиынын белгілейік. Кез келген $a, b \in S$ ($a \ne b$) үшін $f(a)f(b) = f(a^2b^2)$ шартын қанағаттандыратын $f: S \to S$ функциясы бар ма?
(
Angelo Di Pasquale
)
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Есеп №3. Егер $a_0,a_1,\ldots$ нақты сандар тізбегі үшін келесі шарттар орындалса, онда ондай тізбекті {\em жақсы} тізбек деп айтамыз:
(i) $a_0$ — натурал сан;
(ii) кез келген теріс емес бүтін $i$ үшін $a_{i+1}=2a_i+1$ немесе ${\displaystyle a_{i+1}=\dfrac{a_i}{a_i+2}}$ қатынастары орындалады;
(iii) $a_k=2014$ болатындай натурал $k$ саны табылады.
Жақсы $a_0,a_1,\ldots $ тізбегі бар болатындай және $a_n=2014$ теңдігі орындалатындай ең кіші натурал $n$ санын табыңыз. ( Wang Wei Hua )
комментарий/решение(1)
(i) $a_0$ — натурал сан;
(ii) кез келген теріс емес бүтін $i$ үшін $a_{i+1}=2a_i+1$ немесе ${\displaystyle a_{i+1}=\dfrac{a_i}{a_i+2}}$ қатынастары орындалады;
(iii) $a_k=2014$ болатындай натурал $k$ саны табылады.
Жақсы $a_0,a_1,\ldots $ тізбегі бар болатындай және $a_n=2014$ теңдігі орындалатындай ең кіші натурал $n$ санын табыңыз. ( Wang Wei Hua )
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $n$ — натурал сан болсын. Ешқандай екеуі параллель болмайтын жазықтықтағы әртүрлі $2n$ түзуді қарастырайық. $2n$ түзудің $n$ түзуі көк, ал қалғаны қызыл түске боялған. Әр нүктесі кемінде бір көк түзуде жататын нүктелер жиынын $\mathcal{B}$ арқылы, ал әр нүктесі кемінде бір қызыл түзуде жататын нүктелер жиынын $\mathcal{R}$ арқылы белгілейік. $\mathcal{B}$-ның дәл $2n-1$ нүктесі мен $\mathcal{R}$-дің дәл $2n-1$ нүктесі қандай да бір шеңбердің бойында жататын шеңбер табылатынын дәлелдеңіздер.
(
Pakawut Jiradilok,
Warut Suksompong
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $a_0 \geq 2015$ және кез келген бүтін $n\geq 1$ үшін келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\dots$ натурал сандар тізбегін табыңыздар:
(i) $a_{n+2}$ саны $a_n$ санына бөлінеді;
(ii) $|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$, бұл жерде $s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\dots+(-1)^{n+1}a_0$. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)
(i) $a_{n+2}$ саны $a_n$ санына бөлінеді;
(ii) $|s_{n+1}-(n+1)a_n|=1$, бұл жерде $s_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}-\dots+(-1)^{n+1}a_0$. ( Pakawut Jiradilok, Warut Suksompong )
комментарий/решение(1)