Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2015 год

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $D$. Прямая, проходящая через $D$, пересекает отрезок $AB$ и луч $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Окружность, описанная около треугольника $BXD$, пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $ABC$, вторично в точке $Z$, отличной от $B$. Прямые $ZD$ и $ZY$ пересекают $\omega$ вторично в точках $V$ и $W$ соответственно. Докажите, что $AB=VW$. ( Warut Suksompong )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $XY$ пересекает $\omega$ в точках $P$ и $Q$, причем $Q$ лежит между $X$ и $Y$. Докажем, что $V$ и $W$ симметричны $A$ и $B$ относительно серединного перпендикуляра к $PQ$. Если это так, то $AVWB$ — равнобедренная трапеция и $AB=VW$.
Во-первых, заметим, что $$\angle BZD = \angle AXY = \angle APQ + \angle BAP = \angle APQ + \angle BZP,$$ откуда $\angle APQ = \angle PZV = \angle PQV$, следовательно, $V$ симметрична $A$ относительно серединного перпендикуляра к $PQ$.
Пусть $W'$ симметрична $B$ относительно серединного перпендикуляра к $PQ$, и пусть $Z'$ — точка пересечения $YW'$ с $\omega$. Достаточно доказать, что точки $B$, $X$, $D$ и $Z'$ лежат на одной окружности. Имеем: $\angle YDC =\angle PDB = \angle PCB + \angle QPC = \angle W'PQ+\angle QPC = \angle W'PC = \angle YZ'C.$ Следовательно, $D$, $C$, $Y$ и $Z'$ лежат на одной окружности. Тогда $\angle BZ'D = \angle CZB - \angle CZD = 180^\circ - \angle BXD$, что завершает доказательство.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Используя тот факт, что четырехугольники $BXDZ$ и $ABZV$ вписанные, последовательно имеем: $\angle ZDY=\angle ZBA=\angle ZCY$. Следовательно, четырехугольник $ZDCY$ вписанный.
Далее, четырехугольники $ABZC$ и $ZDCY$ вписанные, поэтому $\angle AZB=\angle ACB=\angle WZV$ (или $180^\circ - \angle WZV$, если $Z$ лежит между $W$ и $C$). Следовательно, $AB=VW$, поскольку они стягивают равные или дополняющие друг друга до развернутого углы в $\omega$.

По теореме Микеля $ZDCY$-вписан $\Rightarrow 180°-\angle{BCA}=\angle{DCY}=\angle{WZV} \Rightarrow AB=WV$