Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. По лемме трезубца PA=PI=PB. Поэтому M и N середины отрезков AI и BI соответственно. Пусть Q — середина дуги ACB описанной окружности △ABC. Если провести окружность с центром в точке P радиусом PI, то прямые QA и QB будут касаться этой окружности. Пусть точка J — симметрична точке I относительно K. Тогда J лежит на рассматриваемой окружности. Обозначим KM∩AQ=L. Тогда ∠IKL=∠IJA=∠IAL. Следовательно, четырехугольник ALIK вписанный. Имеем: ∠ILQ=∠AKQ=∠ABQ=∠BAQ, то есть IL∥AB, откуда немедленно следует, что ALIA1 — параллелограмм. Значит, ∠A1IK=∠AQK. Аналогично, ∠B1IK=∠BQK. Поэтому ∠A1IB1=∠AQB=∠ACB.
По лемме о трезубце PA=PI=PB
из условия PM⊥AI откуда ∠IPM=∠IPA2=∠ABC2=∠ABI=∠A1BI из того, что IMKP- вписанный следует,что ∠IKA1=∠IKM=∠IPM поэтому ∠IKA1=∠IBA1
откуда IBKA1- вписанный, следовательно ∠A1IK=∠A1BK аналогично ∠B1IK=∠B1AK
из двух последних равенств получаем, что ∠A1IB1=∠B1AK+∠A1BK=∠ACB
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.