Processing math: 100%

Республиканская олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс


Вокруг треугольника ABC описана окружность ω, а I — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Прямая CI пересекает ω вторично в точке P. Пусть окружность с диаметром IP пересекает AI, BI и ω вторично в точках M, N и K соответственно. Отрезки KN и AB пересекаются в точке B1, а отрезки KM и AB — в точке A1. Докажите, что ACB=A1IB1. ( М. Кунгожин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     По лемме трезубца PA=PI=PB. Поэтому M и N середины отрезков AI и BI соответственно. Пусть Q — середина дуги ACB описанной окружности ABC. Если провести окружность с центром в точке P радиусом PI, то прямые QA и QB будут касаться этой окружности. Пусть точка J — симметрична точке I относительно K. Тогда J лежит на рассматриваемой окружности. Обозначим KMAQ=L. Тогда IKL=IJA=IAL. Следовательно, четырехугольник ALIK вписанный. Имеем: ILQ=AKQ=ABQ=BAQ, то есть ILAB, откуда немедленно следует, что ALIA1 — параллелограмм. Значит, A1IK=AQK. Аналогично, B1IK=BQK. Поэтому A1IB1=AQB=ACB.

пред. Правка 2   9
4 года 3 месяца назад #

По лемме о трезубце PA=PI=PB

из условия PMAI откуда IPM=IPA2=ABC2=ABI=A1BI из того, что IMKP- вписанный следует,что IKA1=IKM=IPM поэтому IKA1=IBA1

откуда IBKA1- вписанный, следовательно A1IK=A1BK аналогично B1IK=B1AK

из двух последних равенств получаем, что A1IB1=B1AK+A1BK=ACB