Математикадан республикалық олимпиада, 2011-2012 оқу жылы, 9 сынып

Оң нақты $a,b,c,d\in {{\mathbb{R}}^{+}}$сандарына келесі шарттар орындалсын:
a) $(a-c)(b-d)=-4$.
b) $\dfrac{a+c}{2}\ge \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}{a+b+c+d}$.
$a+c$ өрнегінің мүмкін болар ең кіші мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Замена $a-c=x,b-d=y,a+c=l,b+d=k$ , тогда условие запишется в виде

$xy=-4\\ l \geq \dfrac{ x^2+l^2+k^2+y^2}{l+k}$

Получим оценку

$lk \geq x^2+(-\dfrac{4}{x})^2+k^2 \geq k^2+8$

$lk \geq k^2+8$

Поделив

$l \geq k+\frac{8}{k} \geq 4\sqrt{2}$

так как $(\sqrt{k}+(\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{k}}))^2 \geq 0$

Значит минимальное значение $l=a+c=4\sqrt{2}$