Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс

Даны положительные действительные числа $a$, $b$, $c$, $d \in \mathbb{R}^+$, для которых выполнено следующие условия:
а) $(a-c)(b-d)=-4$.
б) $\dfrac{a+c}{2} \geq \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}.$
Найти минимум выражения $a+c$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Замена $a-c=x,b-d=y,a+c=l,b+d=k$ , тогда условие запишется в виде

$xy=-4\\ l \geq \dfrac{ x^2+l^2+k^2+y^2}{l+k}$

Получим оценку

$lk \geq x^2+(-\dfrac{4}{x})^2+k^2 \geq k^2+8$

$lk \geq k^2+8$

Поделив

$l \geq k+\frac{8}{k} \geq 4\sqrt{2}$

так как $ (\sqrt{k}+(\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{k}}))^2 \geq 0$

Значит минимальное значение $l=a+c=4\sqrt{2}$