Processing math: 48%

Республиканская олимпиада по математике, 2012 год, 9 класс


Существует ли такая бесконечная последовательность целых положительных чисел (an), что для каждого n1 выполняется соотношение an+2=an+1+an? ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
7 года назад #

{a3a1=a2a4a2=a3a5a3=a4a6a4=a5a7a5=a6a8a6=a7.........ak+2ak=ak+1ak+3ak+1=ak+2...........

a2+a3+a4+...+ak+1+ak+2+...=(a1+a2)

{a2+a3+a4+...+ak+1+ak+2+...>0(a1+a2)<0{an}n=1=

Ответ: такой последовательности не существует.

  0
3 года 11 месяца назад #

Разве при сумме вы не упустили ak+3 и ak+2?

  3
3 года 11 месяца назад #

здесь решение не правильно

пред. Правка 2   8
3 года 8 месяца назад #

Решение: Допустим, что такая последовательность существует.

Заметим, что an+1 целый квадрат для всех n1. Пусть b2n=an+1, тогда b2n+2=bn+1+b2n,n1.

Решим задачу с помощью двух следующих лемм:

Лемма 1: Существует CN, что bn<C+n,n1.

Д-во: Выберем CN, что b1<C+1 и b2<C+2. Далее по индукции докажем лемму для C. Для n=1,2 это уже верно. Предположим, что утверждение верно для всех i от 1 до n2. Тогда b2n+1=bn+b2n1<(C+n)+(C+n)2<(C+n+1)2, ч.т.д.

Лемма 2: Для всех n1 верно сравнение b_n\equiv 0,1,-1 \pmod {2^n}.

Д-во: Докажем индукцией по n\ge 1, что b_k\equiv 0,1,-1\pmod {2^{n}},\forall k\ge n. Для n=1 это очевидно верно. Предположим, что утверждение верно для n\ge 1.

Если t\equiv 0,1,-1\pmod {2^n}, то t^2\equiv 0,1\pmod {2^{n+1}}, так как

1) t\equiv 0\pmod{2^n}, то t^2\equiv 0\pmod {2^{n+1}}.

2) t\equiv 1,-1\pmod {2^{n}}, то t=2^ns\pm1\implies t^2=2^{2n}s^2\pm 2\cdot 2^ns+1\equiv 1\pmod{2^{n+1}}.

С другой стороны b_{k+1}=b_{k+2}^2-b_k^2\equiv \{0,1\}-\{0,1\}\equiv 0,1,-1\pmod {2^{n+1}},\forall k\ge n, ч.т.д. \blacksquare

Заметим, что b_1<b_3<b_5<...\ , значит b_{2k+1}>1,\forall k\ge 1.

Из Леммы 2 следует, что 2^{2k+1}\le b_{2k+1}+1 для всех k\ge 1. Откуда из Леммы 1 получаем, что 2^{2k+1}\le C+(2k+1)\implies 2^{2k+1}-(2k+1)\le C для всех k\ge 1, что очевидно невозможно.

  7
2 года 5 месяца назад #

Из b_{n+2}^2=b_{n+1}+b_{n}^2\implies 0<b_{n+1}=(b_{n+2}-b_{n})(b_{n+2}+b_{n})\ge b_{n+2}+b_{n}>b_{n},b_{n+2}, аналогично b_{n+2}>b_{n+1},b_{n+3}, что означает b_{n+2}>b_{n+1}>b_{n+2}.