Сатылханов К.

Задача №1. Бесконечная строго возрастающая последовательность

$\{a_n\}$ положительных чисел удовлетворяет соотношению

$a_{n+2}=(a_{n+1}-a_n)^{\sqrt{n}}+n^{-\sqrt{n}}$ для каждого натурального

$n$ . Докажите, что для любого

$C>0$ существует такое натуральное

$m(C)$ (зависящее от

$C$ ), что

$a_{m(C)}>C$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Бесконечная строго возрастающая последовательность

$\{a_n\}$ положительных чисел удовлетворяет соотношению

$a_{n+2}=(a_{n+1}-a_n)^{\sqrt{n}}+n^{-\sqrt{n}}$ для каждого натурального

$n$ . Докажите, что для любого

$C>0$ существует такое натуральное

$m(C)$ (зависящее от

$C$ ), что

$a_{m(C)}>C$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Последовательность

$\{{{a}_{n}}\}$ определяется следующим образом:

${{a}_{1}}=2015$ ,

${{a}_{2}}={{2}^{2015}}$ и при всех натуральных

$n\ge 1$

${a_{n + 2}} = {a_n} + \left\lceil {\frac{{{a_{n + 1}}}}{n}} \right\rceil .$ Докажите, что существуют натуральные числа

$M$ и

$c$ такие, что при всех

$n\ge M$ число

$n{{a}_{{{a}_{n}}}}+c$ будет точной степенью. (Здесь

$\left\lceil x \right\rceil$ — верхняя целая часть числа

$x$ , то есть наименьшее целое число, которое не меньше

$x$ . Число называется точной степенью, если оно представимо в виде

${{m}^{k}}$ для некоторых целых

$m > 1$ и

$k > 1$ .) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. Дано натуральное число

$a$ . Докажите, что для любого натурального

$m$ существует бесконечно много натуральных

$n$ таких, что количество делителей числа

$n{{a}^{n}}+1$ делится на

$m$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №5. Даны натуральные числа

$k$ ,

$\ell$ и

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{k}}$

$\left( \ell \ge 2 \right)$ . Докажите, что для любого натурального

$M$ существует натуральное число

$x$ , такое, что каждое из чисел

$x$ ,

$x+1$ ,

$\dots$ ,

$x+M-1$ не представимо в виде

$a_i^n+m^{\ell}$ , где

$n$ и

$m$ — целые неотрицательные числа

$\left( 1\le i\le k \right)$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Задача №6. Дано натуральное число

$a$ . Докажите, что для любого натурального

$m$ существует бесконечно много натуральных

$n$ таких, что количество делителей числа

$n{{a}^{n}}+1$ делится на

$m$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №7. Найдите все тройки попарно взаимно простых натуральных чисел

$(a,b,c)$ такие, что для каждого натурального

$n$ число

${{\left( {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}} \right)}^{2}}$ делится на

$ab+bc+ca$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №8. Существуют ли натуральные числа

$a$ и

$b$ такие, что для каждого натурального

$n$ числа

${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ и

${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ взаимно просты? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №9. Пусть

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{2014}}$ — перестановка чисел 1, 2,

$\ldots$ , 2014. Какое наибольшее количество чисел среди чисел

$a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$ ,

$a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$ ,

$\ldots$ ,

$a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$ ,

$a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ могут быть точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №10. Существуют ли натуральные числа

$a$ и

$b$ такие, что для каждого натурального

$n$ числа

${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ и

${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ взаимно просты? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №11. Действительные числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ удовлетворяют следующим условиям:
i)

$a \neq b$ ,

$b\neq c$ ,

$c\neq d$ ,

$d\neq a$ ;
ii)

$\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-d \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( d-a \right)}^{2}}}=1$ .
Найдите минимум выражения

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №12. Дано целое

$n \geq 1$ и положительные действительные числа

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ . Пусть

$s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ . Известно, что для каждого

$i = 1,~2,~ \ldots,~n$ выполняется неравенство

${{a}_{i}}^{2}>i{{a}_{i}}+s$ . Докажите, что

$2s > 3{{n}^{2}}$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №13. Докажите, что если

$p,~q,~m,~n$ натуральные числа, причем

$p$ и

$q$ простые, то равенство

$\left( {{2^p} - {p^2}} \right)\left( {{2^q} - {q^2}} \right) = {p^m}{q^n}$ невозможно. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №14. Последовательность

$\{a_n\}_{n=1,2, \ldots}$ определена следующим образом:

$a_1 = 1, ~{a_n} = \frac{{{a_{\left[ {n/2} \right]}}}}{2} + \frac{{{a_{\left[ {n/3} \right]}}}}{3} + \ldots + \frac{{{a_{\left[ {n/n} \right]}}}}{n}.$ Докажите, что для всех натуральных чисел

$n$ выполнено

$a_{2n} < 2a_n$ . Здесь

$[x]$ — целая часть числа

$x$ , наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №15. Определите все тройки натуральных чисел

$(m, n, k)$ такие, что

$(m^n - 1)$ делится на

$k^m$ и

$(n^m - 1)$ делится

$k^n$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №16. На доске записаны числа

$1, 2, \ldots, 25$ . За ход нужно стереть 3 некоторых числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ написанных на доске и записать вместо него число

$a^3+b^3+c^3$ . Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно

$2013^3$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №17. Пусть

$AD$ ,

$BE$ и

$CF$ биссектрисы треугольника

$ABC$ . Обозначим через

$M$ и

$N$ середины отрезков

$DE$ и

$DF$ соответственно. Докажите, что если

$\angle BAC\geq 60^\circ$ , то

$BN+CM< BC$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №18. На доске записаны числа 1, 2,

$\ldots$ , 25. За ход нужно стереть 3 некоторых числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ написанных на доске и записать вместо него число

$a^3+b^3+c^3$ . Докажите, что последнее оставшееся число не может быть равно

$2013^3$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(15) олимпиада

Задача №19. Последовательность

${a_n}$ определяется следующим образом:

$a_1=4$ ,

$a_2=17$ и для любого

$k\geq 1$ справедливы соотношения:

$a_{2k+1}=a_2+a_4+\ldots +a_{2k}+(k+1)(2^{2k+3}-1),$

$a_{2k+2}=(2^{2k+2}+1) a_1+(2^{2k+3}+1)a_3+\ldots+(2^{3k+1}+1)a_{2k-1}+k.$ Найдите наименьшее

$m$ , такое что

$(a_1+a_2+\ldots+a_m)^{2012^{2012}}-1$ делится на

$2^{2012^{2012}}$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №20. Существует ли такая бесконечная последовательность целых положительных чисел

$(a_n)$ , что для каждого

$n\geq 1$ выполняется соотношение

$a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}}+a_n$ ? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Задача №21. Даны положительные действительные числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d \in \mathbb{R}^+$ , для которых выполнено следующие условия:
а)

$(a-c)(b-d)=-4$ .
б)

$\dfrac{a+c}{2} \geq \dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{a+b+c+d}.$
Найти минимум выражения

$a+c$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №22. Даны натуральные числа

$a,b$ и функция

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ такая, что для любого натурального

$n$ число

$f\left( n+a \right)$ делится на

$f\left( {\left[ {\sqrt n } \right] + b} \right)$ . Докажите, что для любого натурального

$n$ существует

$n$ попарно различных и попарно взаимно простых натуральных чисел

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ такие, что число

$f\left( {{a}_{i+1}} \right)$ делится на

$f\left( {{a}_{i}} \right)$ для каждого

$i=1,2, \dots ,n-1$ . (Здесь

$[x]$ — целая часть числа

$x$ , то есть наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ ;

$\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №23. Докажите, что не существует положительных действительных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ таких, что одновременно выполнены равенства

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=6$ и

$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}=32.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №24. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ натуральные такие, что для любого натурального

$n$ , число

$((a^n - 1)(b^n - 1)(c^n -1) + 1)^3$ делится на

$(abc)^n$ . Докажите, что

$a = b = c$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №25. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ принадлежат отрезку

$[-2, 2]$ . Найдите наибольшее возможное значение суммы

$|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №26. Пусть

$a$ ,

$b$ и

$c$ такие действительные числа, что

$\left| \left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right) \right|=1.$ Найдите наименьшее значение выражения

Задача №27. Докажите, что для любого натурального числа

$n$ существуют натуральные числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ такие, что

$n = (a^2 - bc)(b, c) + (b^2 - ca)(c, a) + (c^2 - ab)(a, b).$ Здесь

$(a, b)$ — наибольший общий делитель чисел

$a$ ,

$b$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №28. Пусть

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ и

$\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ — две бесконечные арифметические прогрессии, у каждой из которых первый член и разность — взаимно простые натуральные числа. Известно, что для любого натурального

$n$ , хотя бы одно из чисел

$\left( a_n^2+a_{n+1}^2 \right)\left( b_n^2+b_{n+1}^2 \right)$ или

$\left( a_n^2+b_n^2 \right) \left( a_{n+1}^2+b_{n+1}^2 \right)$ является точным квадратом. Докажите, что

${{a}_{n}}={{b}_{n}}$ , для любого натурального

$n$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №29. Можно ли числа

$1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ,

$2017$ разбить на три непустых множества

$A$ ,

$B$ и

$C$ так, что для любых

$a\in A$ ,

$b\in B$ и

$c\in C$ числа

$ab+c$ и

$ac+b$ не являлись точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №30. Пусть

$a$ и

$b$ такие действительные числа, что

$\left| 3{{a}^{2}}-1 \right|\le 2b$ и

$\left| 3{{b}^{2}}-2 \right|\le a$ . Докажите, что

${{a}^{4}}+{{b}^{3}}\le 2$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(7) олимпиада

Задача №31. В каждую клетку таблицы

$100\times 100$ записано одно из чисел

$1,2,\ldots,100$ , причем каждое из этих чисел встречается в таблице 100 раз. Назовем линией любую строку или столбец таблицы. За один ход разрешается взять линию, в котором сумма чисел больше 100, и обнулить все числа на этой линии. Какое наибольшее количество ненулевых чисел может остаться в таблице, если известно, что после нескольких ходов во всех линиях сумма чисел не превосходит 100? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №32. Можно ли числа

$1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ,

$2017$ разбить на три непустых множества

$A$ ,

$B$ и

$C$ так, что для любых

$a\in A$ ,

$b\in B$ и

$c\in C$ числа

$ab+c$ и

$ac+b$ не являлись точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №33. Найдите все функции

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такие, что

$\left| y-f\left( f\left( x \right) \right)\left| \ge \right|f{{\left( x \right)}^{2}}+xf\left( y \right) \right|$ для любых действительных

$x$ и

$y$ . Здесь

$\mathbb{R}$ — множество действительных чисел. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №34. В каждую клетку таблицы

$100\times 100$ записано одно из чисел 1,2,...,100, причем каждое из этих чисел встречается в таблице 100 раз. Назовем линией любую строку или столбец таблицы. За один ход разрешается взять линию, в котором сумма чисел больше 100, и обнулить все числа на этой линии. Какое наибольшее количество ненулевых чисел может остаться в таблице, если известно, что после нескольких ходов во всех линиях сумма чисел не превосходит 100? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №35. Найдите все пары нечетных натуральных чисел

$\left( a,b \right)$ таких, что

$a,b < {{2}^{2017}}$ , а числа

${{a}^{b}}+b$ и

${{b}^{a}}+a$ делятся на

${{2}^{2017}}$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №36. Даны действительные числа

$x,y,z\ge \dfrac{1}{2}$ такие, что

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ . Докажите неравенство

$\left( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z} \right)\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right)\ge 2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №37. Бесконечная, строго возрастающая последовательность

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ натуральных чисел удовлетворяет условию

${{a}_{{{a}_{n}}}}\le {{a}_{n}}+{{a}_{n+3}}$ , при всех

$n\ge 1$ . Докажите, что существуют бесконечно много троек

$\left( k,l,m \right)$ натуральных чисел таких, что

$k < l < m$ и

${{a}_{k}}+{{a}_{m}}=2{{a}_{l}}$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №38. Докажите, что среди любых 42 чисел из промежутка

$[1,{{10}^{6}}]$ можно выбрать четыре числа так, что для любой перестановки

$\left( a,b,c,d \right)$ этих чисел выполняется неравенство

$25\left( ab+cd \right)\left( ad+bc \right)\ge 16{{\left( ac+bd \right)}^{2}}.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №39. Пусть

$\mathbf{N}$ — множество натуральных чисел. Определите все неубывающие функции

$f: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ такие, что для любых натуральных чисел

$m, n$ выполнено равенство

$f(f(m) \cdot f(n) + m) = f(mf(n))+ f(m).$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №40. Пусть

$\mathbf{N}$ — множество всех натуральных чисел. Определите все функции

$f: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ такие, что для любых натуральных чисел

$m,~n$ выполнены неравенства

$2f(mn) \ge f(m^2 + n^2) - f(m)^2 - f(n)^2 \ge 2f(m)f(n).$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №41. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ принадлежат отрезку

$[-2, 2]$ . Найдите наибольшее возможное значение суммы

$|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №42. Пусть

${{a}_{1}},~{{a}_{2}},~\ldots,~{{a}_{2014}}$ — перестановка чисел 1, 2,

$\ldots$ , 2014. Какое наибольшее количество чисел среди чисел

$a_{1}^{2}+{{a}_{2}},$

$a_{2}^{2}+{{a}_{3}},$

$\ldots,$

$a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}},$

$a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ могут быть точными квадратами? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №43. Докажите, что существует бесконечно много пар

$(m, n)$ натуральных чисел таких, что число

$(m!)^n+(n!)^m+1$ делится на

$m+n$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №44. Пусть

$\mathbb{R}^{+}$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции

$f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ такие, что

$f\left(3{f\left(xy\right)}^2+\left(xy\right)^2\right)={(xf\left(y\right)+yf\left(x\right))}^2$ для любых

$x,y\in\mathbb{R}^{+}$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №45.

$\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел. Существует ли функция

$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такая, что для любых натуральных

$m$ и

$n$ выполнено равенство

$f\left(mf\left(n\right)\right)=f\left(m\right)f\left(m+n\right)+n?$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №46. Даны натуральные числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ и

$d$ такие, что числа

$a$ и

$b$ взаимно просты и

$a > b.$ Известно, что число

$c^2$ делится на

$a^2+b$ , а число

$d^2$ делится на

$a^2+b^2.$ Докажите, что

$cd > 2a^2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №47. Докажите, что для любых действительных чисел

$a,b,c\in(0,1)$ выполняется неравенство

$\left(\sqrt2a-bc\right)\left(\sqrt2b-ca\right)\left(\sqrt2c-ab\right)\le\frac{1}{8}.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №48. Докажите, что для любых действительных чисел

$a,b,c,d\in(0,1)$ выполняется неравенство

$\left(ab-cd\right)\left(ac+bd\right)\left(ad-bc\right)+\min{\left(a,b,c,d\right)} < 1.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №49. Дано множество

$S = \{ xy\left( {x + y} \right)\; |\; x,y \in \mathbb{N}\}$ . Пусть

$a$ и

$n$ натуральные числа такие, что

$a+2^k\in S$ для каждого

$k=1,2,\ldots,n.$ Найдите наибольшее возможное значение

$n.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №50. Существует ли последовательность натуральных чисел

$a_1,a_2,\ldots$ , в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз, такая, что число

$\tau(na_{n+1}^n+\left(n+1\right)a_n^{n+1})$ делится на

$n$ для любого натурального

$n$ ? (

$\tau(n)$ — количество натуральных делителей числа

$n$ ). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №51. Пусть

$a_1,$

$a_2,$

$\ldots,$

$a_{99}$ положительные действительные числа такие, что

$ia_j+ja_i\ge i+j$ для всех

$1\le i < j \le 99.$ Докажите, что

$(a_1+1)(a_2+2)\ldots (a_{99}+99) \ge 100!.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №52. Найдите все такие пары

$(m, n)$ натуральных чисел, что

$n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ и

$m^4 \ | \ 2n^5 + 1$ . Запись

$a \ | \ b$ обозначает, что

$a$ делит

$b$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №53. Найдите все такие пары

$(m, n)$ натуральных чисел, что

$n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ и

$m^4 \ | \ 2n^5 + 1$ . Запись

$a \ | \ b$ обозначает, что

$a$ делит

$b$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №54. Дана строго возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел

$a_1,$

$a_2,$

$a_3,$

$\ldots$ . Известно, что

$a_n \leq n+2020$ и число

$n^3 a_n - 1$ делится на

$a_{n+1}$ при всех натуральных

$n$ . Докажите, что

$a_n = n$ при всех натуральных

$n$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №55. Найдите все пары

$(a,n)$ натуральных чисел таких, что

$\varphi (a^n+n)=2^n.$ (

$\varphi(n)$ — функция Эйлера, то есть количество целых чисел от 1 до

$n$ , взаимно простых с

$n$ .) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №56. Пусть

$1 \le x_1, x_2, \ldots, x_n \le 160$ — такие действительные числа, что

$x_i^2 + x_j^2 + x_k^2 \ge 2 (x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i)$ при любых

$1 \le i < j < k \le n$ .
Найдите наибольшее возможное значение

$n$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №57. Дан треугольник

$ABC$ , в котором

$AB+AC > 3BC$ . Внутри этого треугольника отмечены точки

$P$ и

$Q$ такие, что

$\angle ABP=\angle PBQ=\angle QBC$ и

$\angle ACQ=\angle QCP=\angle PCB$ . Докажите, что

$AP+AQ > 2BC$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №58. Найдите все функции

$f:{{R}^{+}}\to {{R}^{+}}$ такие, что

$f{{\left( x \right)}^{2}}=f\left( xy \right)+f\left( x+f\left( y \right) \right)-1$ для любых

$x,y\in {{R}^{+}}$ . (Здесь

${{R}^{+}}$ — множество положительных действительных чисел.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(9) олимпиада

Задача №59. Пусть

$ABCD$ вписанный четырехугольник, в котором

$\angle BAD < 90^\circ$ . На лучах

$AB$ и

$AD$ выбраны точки

$K$ и

$L$ , соответственно, такие, что

$KA=KD$ ,

$LA=LB$ . Пусть

$N$ — середина отрезка

$AC$ . Докажите, что если

$\angle BNC=\angle DNC$ , то

$\angle KNL =\angle BCD$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №60. Даны натуральные числа

$a,b,m$ и

$k$ , где

$k\ge 2$ . Докажите, что существует бесконечно много натуральных

$n$ такие, что

$\text{НОД} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1$ (

$\varphi_1(n) = \varphi(n)$ — функция Эйлера, т.е. количество целых чисел от 1 до

$n$ , которые взаимно просты с

$n$ ,

$\varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n))$ при всех

$i\ge 1$ , а

$[ x]$ — целая часть числа

$x$ , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ .) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №61. Дано целое число

$n > 100$ . Целые числа от 1 до

$4n$ разбиты на

$n$ групп, по 4 числа в каждой. Докажите, что найдутся не менее

$\dfrac{(n-6)^2}{2}$ четверок

$(a, b, c, d)$ целых чисел, удовлетворяющих следующим условиям:
(i)

$1\le a < b < c < d\le 4n$ ;
(ii) числа

$a, b, c, d$ лежат в попарно разных группах;
(iii)

$c - b\le |ad - bc|\le d - a$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №62. Дано целое число

$n > 100$ . Целые числа от 1 до

$4n$ разбиты на

$n$ групп, по 4 числа в каждой. Докажите, что найдутся не менее

$\dfrac{(n-6)^2}{2}$ четверок

$(a, b, c, d)$ целых чисел, удовлетворяющих следующим условиям:
(i)

$1\le a < b < c < d\le 4n$ ;
(ii) числа

$a, b, c, d$ лежат в попарно разных группах;
(iii)

$c - b\le |ad - bc|\le d - a$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №63. Даны натуральные числа

$a,b,m$ и

$k$ , где

$k\ge 2$ . Докажите, что существует бесконечно много натуральных

$n$ такие, что

$\text{НОД} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1$ (

$\varphi_1(n) = \varphi(n)$ — функция Эйлера, т.е. количество целых чисел от 1 до

$n$ , которые взаимно просты с

$n$ ,

$\varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n))$ при всех

$i\ge 1$ , а

$[ x]$ — целая часть числа

$x$ , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее

$x$ .) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №64. Целое число

$m\ge 3$ и бесконечная последовательность натуральных чисел

$(a_n)_{n\ge 1}$ при всех натуральных

$n$ удовлетворяет равенству

$a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}.$ Докажите, что

$a_1 < 2^m$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №65. Докажите, что для любых натуральных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ хотя бы одно из чисел

$a^3b+1$ ,

$b^3c+1$ ,

$c^3a+1$ не делится на

$a^2+b^2+c^2$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Задача №66. Целое число

$m\ge 3$ и бесконечная последовательность натуральных чисел

$(a_n)_{n\ge 1}$ при всех натуральных

$n$ удовлетворяет равенству

$a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}.$ Докажите, что

$a_1 < 2^m$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №67. Целое число

$m\ge 3$ и бесконечная последовательность натуральных чисел

$(a_n)_{n\ge 1}$ при всех натуральных

$n$ удовлетворяет равенству

$a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}.$ Докажите, что

$a_1 < 2^m$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №68. Дано простое число

$p\ge 3$ и натуральное число

$d$ . Докажите, что существует натуральное число

$n$ , взаимно простое с

$d$ , такое, что произведение

$P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}$ не делится на

$p^n.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №69. Дано простое число

$p\ge 3$ и натуральное число

$d$ . Докажите, что существует натуральное число

$n$ , взаимно простое с

$d$ , такое, что произведение

$P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}$ не делится на

$p^n.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №70. Пару натуральных чисел

$(x, y)$ назовем хорошей, если

$x$ и

$y$ не делятся друг на друга, а множества простых делителей

$x$ и

$y$ совпадают. Даны различные взаимно простые натуральные числа

$a$ и

$b$ . Докажите, что существует бесконечно много натуральных

$n$ , для каждого из которых найдётся натуральное

$m$ такое, что пара

$(a^n+bm, b^n+am)$ хорошая. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №71. Положительные действительные числа

$x, y$ , и натуральное число

$n$ таковы, что

$\left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor.$ Докажите, что

$\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$ . (

$\lfloor t\rfloor$ — целая часть

$t$ , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее

$t$ .) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №72. Даны натуральные числа

$b,M$ и простое число

$p$ . Строго возрастающая последовательность натуральных чисел

$a_1,a_2,\ldots$ такова, что

$a_n^3+b$ делится на

$a_{n+1}+a_n$ при всех целых

$n\ge 1$ . Докажите, что хотя бы одно из чисел

$Mp, (M+1)p,(M+2)p,\ldots$ не встречается в этой бесконечной последовательности

$a_1,a_2,\ldots$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №73. Найдите все четверки натуральных чисел

$(a,b,c,d)$ таких, что

$2^a+3^b=5^c\cdot d$ и

$2^b+3^a=5^d\cdot c$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №74. Положительные действительные числа

$x, y$ , и натуральное число

$n$ таковы, что

$\left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor.$ Докажите, что

$\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$ . (

$\lfloor t\rfloor$ — целая часть

$t$ , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее

$t$ .) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №75. Найдите все четверки натуральных чисел

$(a,b,c,d)$ таких, что

$2^a+3^b=5^c\cdot d$ и

$2^b+3^a=5^d\cdot c$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Задача №76. Положительные действительные числа

$x, y$ , и натуральное число

$n$ таковы, что

$\left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor.$ Докажите, что

$\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$ . (

$\lfloor t\rfloor$ — целая часть

$t$ , т.е. наибольшее целое число, не превосходящее

$t$ .) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада