Сатылханов К.

Есеп №1. Оң сандардан тұратын, қатаң өспелі және шексіз

$\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі кез келген натурал

$n$ үшін келесі шартты қанағаттандырады:

${{a}_{n+2}}={{({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}})}^{\sqrt{n}}}+{{n}^{-\sqrt{n}}}.$ Кез келген

$C > 0$ үшін,

${{a}_{m(C)}} > C$ шарты орындалатын

$C$ -ға тәуелді

$m(C)$ саны табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Оң сандардан тұратын, қатаң өспелі және шексіз

$\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі кез келген натурал

$n$ үшін келесі шартты қанағаттандырады:

${{a}_{n+2}}={{({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}})}^{\sqrt{n}}}+{{n}^{-\sqrt{n}}}.$ Кез келген

$C > 0$ үшін,

${{a}_{m(C)}} > C$ шарты орындалатын

$C$ -ға тәуелді

$m(C)$ саны табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3.

$\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі келесі шарт бойынша анықталады:

${{a}_{1}}=2015$ ,

${{a}_{2}}={{2}^{2015}}$ және барлық натурал

$n\ge 1$ үшін

${a_{n + 2}} = {a_n} + \left\lceil {\dfrac{{{a_{n + 1}}}}{n}} \right\rceil .$ Кез келген

$n\ge M$ үшін

$n{{a}_{{{a}_{n}}}}+c$ саны толық дәреже болатындай, натурал

$M$ және

$c$ сандары табылатынын дәлелдеңіздер. Бұл жерде

$\left\lceil x \right\rceil$ — ол

$x$ санының жоғары бөлігі, яғни

$x$ -тен кем емес ең кіші бүтін сан. Егер қандай да бір

$m > 1$ және

$k > 1$ бүтін сандары үшін санды

${{m}^{k}}$ түрінде жазуға болса, онда ондай санды толық дәреже деп атайды. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4. Натурал

$a$ саны берілген. Әрбір

$m$ натурал саны үшін

$n{{a}^{n}}+1$ санының бөлгіштер саны

$m$ -ға бөлінетіндей шексіз көп натурал

$n$ саны табылатынын дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №5. Натурал

$k$ ,

$\ell$ және

${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{k}}$

$\left( \ell \ge 2 \right)$ сандары берілген. Кез келген натурал

$M$ саны үшін,

$x$ ,

$x+1$ ,

$\dots$ ,

$x+M-1$ сандарының әрқайсысы

$a_i^n+m^{\ell}$

$\left( 1\le i\le k \right)$ түрінде келмейтіндей натурал

$x$ саны табылатынын дәлелдеңіздер. Бұл жерде

$n$ және

$m$ теріс емес бүтін сандар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №6. Натурал

$a$ саны берілген. Әрбір

$m$ натурал саны үшін

$n{{a}^{n}}+1$ санының бөлгіштер саны

$m$ -ға бөлінетіндей шексіз көп натурал

$n$ саны табылатынын дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №7. Әрбір натурал

$n$ саны үшін

${{\left( {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}} \right)}^{2}}$ саны

$ab+bc+ca$ санына бөлінетіндей қос-қостан өзара жай болатын барлық натурал

$(a,b,c)$ үштіктерін табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №8. Барлық натурал

$n$ үшін,

${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ және

${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ сандары өзара жай болатындай, натурал

$a$ және

$b$ сандары табылады ма? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №9.

${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{2014}}$ сандары — 1, 2,

$\ldots$ , 2014 сандарының қандай-да бір реттегі орын алмастыруы болсын.

$a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$ ,

$a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$ ,

$\ldots$ ,

$a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$ ,

$a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша толық квадрат бола алады? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №10. Барлық натурал

$n$ үшін,

${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ және

${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ сандары өзара жай болатындай, натурал

$a$ және

$b$ сандары табылады ма? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №11. Нақты

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ сандары келесі шарттарды қанағаттандырады:
i)

$a \ne b$ ,

$b\ne c$ ,

$c\ne d$ ,

$d\ne a$ ;
ii)

$\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-d \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( d-a \right)}^{2}}}=1$ .

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$ өрнегінің ең кіші мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №12. Бүтін

$n \ge 1$ сан мен оң нақты

${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{n}}$ сандары берілген.

$s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ болсын. Әр

$i = 1, 2, \ldots, n$ үшін,

${{a}_{i}}^{2} > i{{a}_{i}}+s$ теңсіздігі орындалатыны белгілі.

$2s > 3{{n}^{2}}$ теңсіздігін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №13. Егер

$p, q, m, n$ натурал сандар және

$p$ мен

$q$ жай болса, онда

$\left( {{2^p} - {p^2}} \right)\left( {{2^q} - {q^2}} \right) = {p^m}{q^n}$ теңдігінің мүмкін емес екенін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №14.

$\{a_n\}_{n=1,2, \ldots}$ тізбегі келесі жолмен анықталған:

$a_1 = 1, ~{a_n} = \dfrac{{{a_{\left[ {n/2} \right]}}}}{2} + \dfrac{{{a_{\left[ {n/3} \right]}}}}{3} + \ldots + \dfrac{{{a_{\left[ {n/n} \right]}}}}{n}.$ Кез келген натурал

$n$ саны үшін,

$a_{2n} < 2a_n$ екенін дәлелдеңдер. Бұл жерде

$[x]$ —

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №15.

$(m^n - 1)$ саны

$k^m$ санына,

$(n^m - 1)$ саны

$k^n$ санына бөлінетіндей барлық

$(m, n, k)$ натурал үштіктерін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №16. Тақтада 1, 2,

$\ldots$ , 25 сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарын өшіріп, олардың орнына

$a^3+b^3+c^3$ қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан

$2013^3$ бола алмайтынын көрсетіндер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №17.

$ABC$ үшбұрышының

$AD$ ,

$BE$ және

$CF$ биссектриссалары болсын.

$M$ және

$N$ арқылы сәйкесінше

$DE$ және

$DF$ кесінділерінің ортасын белгілейік. Егер

$\angle BAC\ge 60^\circ$ болса, онда

$BN+CM\le BC$ екенін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №18. Тақтада 1, 2,

$\ldots$ , 25 сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандарын өшіріп, олардың орнына

$a^3+b^3+c^3$ қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан

$2013^3$ бола алмайтынын көрсетіндер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(15) олимпиада

Есеп №19.

$\left( {{a}_{n}} \right)$ тізбегі былайша анықталған:

${{a}_{1}}=4,$

${{a}_{2}}=17$ және әрбір

$k\ge 1$ үшін төмендегі қатынастар орындалады:

${{a}_{2k+1}}={{a}_{2}}+{{a}_{4}}+\ldots +{{a}_{2k}}+\left( k+1 \right)\left( {{2}^{2k+3}}-1 \right),$

${{a}_{2k+2}}=\left( {{2}^{2k+2}}+1 \right){{a}_{1}}+\left( {{2}^{2k+3}}+1 \right){{a}_{3}}+\ldots +\left( {{2}^{3k+1}}+1 \right){{a}_{2k-1}}+k.$

${{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{m}} \right)}^{{{2012}^{2012}}}}-1$ саны

${{2}^{{{2012}^{2012}}}}$ -ге бөлінетіндей ең кіші

$m$ санын табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №20. Әрбір

$n\ge 1$ үшін

${{a}_{n+2}}=\sqrt{{{a}_{n+1}}}+{{a}_{n}}$ теңдігі орындалатындай оң бүтін сандардың ақырсыз

$\left( {{a}_{n}} \right)$ тізбегі табыла ма? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №21. Оң нақты

$a,b,c,d\in {{\mathbb{R}}^{+}}$ сандарына келесі шарттар орындалсын:
a)

$(a-c)(b-d)=-4$ .
b)

$\dfrac{a+c}{2}\ge \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}{a+b+c+d}$ .

$a+c$ өрнегінің мүмкін болар ең кіші мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №22. Натурал

$a$ және

$b$ сандары берілген. Кез келген натурал

$n$ саны үшін

$f\left( n+a \right)$ саны

$f\left( {\left[ {\sqrt n } \right] + b} \right)$ санына бөлінетіндей

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ функциясы берілсін. Кез келген натурал

$n$ саны үшін, барлық

$i=1,2, \dots ,n-1$ үшін

$f\left( {{a}_{i+1}} \right)$ саны

$f\left( {{a}_{i}} \right)$ санына бөлінетіндей, қос-қостан өзара тең емес және қос-қостан өзара жай болатын

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ натурал сандарының табылатынын дәлелдеңіздер. (Бұл жерде

$[x]$ — ол

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан;

$\mathbb{N}$ — натурал сандар жиыны.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №23. Бір уақытта

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=6$ және

$\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}=32$ теңдіктері орындалатын нақты оң

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ сандарының жоқ екенін дәлелдеңіз ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №24. Натурал

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары үшін, натурал

$n$ санының кез келген мәнінде

$((a^n - 1)(b^n - 1)(c^n -1) + 1)^3$ саны

$(abc)^n$ санына бөлінсін. Олай болса

$a = b = c$ екенін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №25.

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары

$[-2, 2]$ кесіндісіндегі сандар болсын.

$|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|$ қосындысының ең үлкен мүмкін мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №26. Нақты

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары үшін

$\left| \left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right) \right|=1$ теңдігі орындалсын.

Есеп №27. Кез келген натурал

$n$ саны үшін,

$n = (a^2 - bc)(b, c) + (b^2 - ca)(c, a) + (c^2 - ab)(a, b)$ болатындай натурал

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары табылатынын дәлелдеңдер. Бұл жерде

$(a, b)$ — натурал

$a$ және

$b$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №28. Әр

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ және

$\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ шексіз арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі мен алымы — өзара жай болатын натурал сандар. Кез келген натурал

$n$ үшін,

$\left( a_n^2+a_{n+1}^2 \right)\left( b_n^2+b_{n+1}^2 \right) \quad \text{немесе} \quad \left( a_n^2+b_n^2 \right) \left( a_{n+1}^2+b_{n+1}^2 \right)$ сандарының кемінде береуі толық квадрат екені белгілі. Олай болса, кез келген натурал

$n$ үшін

${{a}_{n}}={{b}_{n}}$ екенін дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №29.

$1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ,

$2017$ сандарын келесі шарттарды қанағаттандыратын, әрқайсысы бос емес үш

$A$ ,

$B$ және

$C$ жиындарына бөлуге болады ма: кез келген

$a\in A$ ,

$b\in B$ және

$c\in C$ үшін,

$ab+c$ және

$ac+b$ сандарының ешқайсысы толық квадрат болмайтын сандар? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №30.

$\left| 3{{a}^{2}}-1 \right|\le 2b$ және

$\left| 3{{b}^{2}}-2 \right|\le a$ теңсіздіктері орындалатындай нақты

$a$ және

$b$ сандары берілген.

${{a}^{4}}+{{b}^{3}}\le 2$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(7) олимпиада

Есеп №31.

$100\times 100$ тақтаның әр шаршысына

$1,2,\ldots,100$ сандарының біреуі жазылған; және тақтада осы сандардың әрқайсысы 100 реттен кездеседі. Тақтаның кез келген жолын немесе бағанын сызық деп атайық. Бір жүрісте сандарының қосындысы 100-ден үлкен кез келген сызықты алып, осы сызықтағы сандардың бәрін нөлге теңестіруге болады. Егер бірнеше жүрістен кейін әр жолдағы сандардың қосындысы 100-ден аспаса, онда тақтада нөлге тең емес ең көп дегенде қанша сан қалуы мүмкін? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №32.

$1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ,

$2017$ сандарын келесі шарттарды қанағаттандыратын, әрқайсысы бос емес үш

$A$ ,

$B$ және

$C$ жиындарына бөлуге болады ма: кез келген

$a\in A$ ,

$b\in B$ және

$c\in C$ үшін,

$ab+c$ және

$ac+b$ сандарының ешқайсысы толық квадрат болмайтын сандар? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №33. Кез келген нақты

$x$ және

$y$ сандары үшін

$\left| y-f\left( f\left( x \right) \right)\left| \ge \right|f{{\left( x \right)}^{2}}+xf\left( y \right) \right|$ теңсіздігін қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар. Бұл жерде

$\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №34.

$100\times 100$ тақтаның әр шаршысына

Есеп №35.

${{a}^{b}}+b$ және

${{b}^{a}}+a$ қосындыларының әрқайсысы

${{2}^{2017}}$ -не бөлінетіндей

$a,b < {{2}^{2017}}$ болатын барлық тақ натурал

$\left( a,b \right)$ жұптарын табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №36. Нақты

$x,y,z\ge \frac{1}{2}$ сандары үшін

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ теңдігі орындалады. Сол сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z} \right)\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge 2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №37. Шексіз, қатаң түрде өспелі

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ натурал сандар тізбегі

${{a}_{{{a}_{n}}}}\le {{a}_{n}}+{{a}_{n+3}}$ шартын қанағаттандырады, бұл жерде

$n$ — натурал сан.

$k < l < m$ теңсіздігі мен

${{a}_{k}}+{{a}_{m}}=2{{a}_{l}}$ теңдігі орындалатындай шексіз көп

$\left( k,l,m \right)$ натурал үштіктері бар екенін дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №38.

$[1,{{10}^{6}}]$ аралығында жатқан кез келген 42 сандардың ішінен, сол сандардың кез келген

$\left( a,b,c,d \right)$ орын ауыстыруы үшін

$25\left( ab+cd \right)\left( ad+bc \right)\ge 16{{\left( ac+bd \right)}^{2}}$ теңсіздігі орындалатындай төрт сан таңдап алуға болатынын дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №39.

$N$ — натурал сандар жиыны болсын. Кез келген натурал

$m$ ,

$n$ сандары үшін

$f(f(m)f(n)+m)=f(mf(n))+f(m)$ шартын қанағаттандыратын барлық кемімейтін

$f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №40.

$\mathbb{N}$ — барлық натурал сандар жиыны болсын. Кез келген натурал

$m$ ,

$n$ сандары үшін

$2f(mn)\ge f({{m}^{2}}+{{n}^{2}})-f{{(m)}^{2}}-f{{(n)}^{2}}\ge 2f(m)f(n)$ теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №41.

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары

$[-2, 2]$ кесіндісіндегі сандар болсын.

$|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|$ қосындысының ең үлкен мүмкін мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №42.

${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{2014}}$ сандары — 1, 2,

$\ldots$ , 2014 сандарының қандай-да бір реттегі орын алмастыруы болсын.

$a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$ ,

$a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$ ,

$\ldots$ ,

$a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$ ,

$a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша толық квадрат бола алады? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №43. Докажите, что существует бесконечно много пар

$(m, n)$ натуральных чисел таких, что число

$(m!)^n+(n!)^m+1$ делится на

$m+n$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №44. Пусть

$\mathbb{R}^{+}$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции

$f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ такие, что

$f\left(3{f\left(xy\right)}^2+\left(xy\right)^2\right)={(xf\left(y\right)+yf\left(x\right))}^2$ для любых

$x,y\in\mathbb{R}^{+}$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №45.

$\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел. Существует ли функция

$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такая, что для любых натуральных

$m$ и

$n$ выполнено равенство

$f\left(mf\left(n\right)\right)=f\left(m\right)f\left(m+n\right)+n?$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №46. Даны натуральные числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ и

$d$ такие, что числа

$a$ и

$b$ взаимно просты и

$a > b.$ Известно, что число

$c^2$ делится на

$a^2+b$ , а число

$d^2$ делится на

$a^2+b^2.$ Докажите, что

$cd > 2a^2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №47. Докажите, что для любых действительных чисел

$a,b,c\in(0,1)$ выполняется неравенство

$\left(\sqrt2a-bc\right)\left(\sqrt2b-ca\right)\left(\sqrt2c-ab\right)\le\frac{1}{8}.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №48. Докажите, что для любых действительных чисел

$a,b,c,d\in(0,1)$ выполняется неравенство

$\left(ab-cd\right)\left(ac+bd\right)\left(ad-bc\right)+\min{\left(a,b,c,d\right)} < 1.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №49. Дано множество

$S = \{ xy\left( {x + y} \right)\; |\; x,y \in \mathbb{N}\}$ . Пусть

$a$ и

$n$ натуральные числа такие, что

$a+2^k\in S$ для каждого

$k=1,2,\ldots,n.$ Найдите наибольшее возможное значение

$n.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №50. Әр натурал сан дәл бір рет қана кездесетін және кез келген натурал

$n$ саны үшін

$\tau(na_{n+1}^n+\left(n+1\right)a_n^{n+1})$ саны

$n$ санына бөлінетіндей

$a_1,a_2,\ldots$ натурал сандар тізбегі бар ма? (

$\tau(n)$ саны —

$n$ санының натурал бөлгіштерінің саны). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №51. Әрбір

$1\le i < j \le 99$ үшін

$ia_j+ja_i\ge i+j$ теңсіздіктері орындалатындай

$a_1,$

$a_2,$

$\ldots,$

$a_{99}$ нақты оң сандары берілген.

$(a_1+1)(a_2+2)\ldots (a_{99}+99) \ge 100!$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №52.

$n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ және

$m^4 \ | \ 2n^5 + 1$ шарттары орындалатындай барлық натурал

$(m, n)$ сандар жұптарын анықтаңыз. Бұл жерде

$a \ | \ b$ өрнегі

$a$ саны

$b$ санын бөледі дегенді білдіреді. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №53.

$n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ және

$m^4 \ | \ 2n^5 + 1$ шарттары орындалатындай барлық натурал

$(m, n)$ сандар жұптарын анықтаңыз. Бұл жерде

$a \ | \ b$ өрнегі

$a$ саны

$b$ санын бөледі дегенді білдіреді. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №54. Шексіз және қатаң өспелі

$a_1,$

$a_2,$

$a_3,$

$\ldots$ натурал сандар тізбегі берілген. Барлық натурал

$n$ саны үшін

$a_n \leq n+2020$ екені және

$n^3 a_n - 1$ саны

$a_{n+1}$ санына бөлінетіні белгілі. Кез келген натурал

$n$ үшін

$a_n = n$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №55.

$\varphi (a^n+n)=2^n$ теңдігі орындалатын барлық натурал

$(a,n)$ жұптарын табыңыз. (Бұл жерде

$\varphi(n)$ — Эйлер функциясы, яғни 1-ден

$n$ -ге дейінгі

$n$ санымен өзара жай бүтін сандардың саны.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №56.

$1 \le x_1, x_2, \ldots, x_n \le 160$ нақты сандары үшін, және кез келген

$1 \le i < j < k \le n$ сандары үшін

$x_i^2 + x_j^2 + x_k^2 \ge 2 (x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i)$ теңсіздіктері орындалады.

$n$ санының ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №57.

$AB+AC > 3BC$ шарты орындалатындай

$ABC$ үшбұрышы берілген. Осы үшбұрыштың ішінен

$\angle ABP=\angle PBQ=\angle QBC$ және

$\angle ACQ=\angle QCP=\angle PCB$ болатындай

$P$ және

$Q$ нүктелері белгіленген.

$AP+AQ > 2BC$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №58. Кез келген

$x,y\in {{R}^{+}}$ үшін

$f{{\left( x \right)}^{2}}=f\left( xy \right)+f\left( x+f\left( y \right) \right)-1$ теңдігі орындалатындай барлық

$f:{{R}^{+}}\to {{R}^{+}}$ функцияларын табыңыз. (Бұл жерде

${{R}^{+}}$ — оң нақты сандар жиыны.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(9) олимпиада

Есеп №59. Шеңберге іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышы берілген

$(\angle BAD < 90^\circ)$ .

$AB$ және

$AD$ сәулелерінен

$K$ және

$L$ нүктелері

$KA=KD$ ,

$LA=LB$ теңдіктері орындалатындай етіп сәйкесінше алынған.

$N$ нүктесі

$AC$ кесіндісінің ортасы болсын. Егер

$\angle BNC=\angle DNC$ орындалса

$\angle KNL=\angle BCD$ болатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №60.

$a,b,m$ және

$k\ge 2$ натурал сандары берілген.

$\text{ЕҮОБ} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1$ болатындай шексіз көп натурал

$n$ сандарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$\varphi_1(n) = \varphi(n)$ — Эйлер функциясы, ол 1-ден

$n$ -ге дейін неше сан

$n$ санымен өзара жай екенін көрсетеді, ал барлық

$i\ge 1$ үшін

$\varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n))$ .

$[x]$ арқылы

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №61. Бүтін

$n > 100$ саны берілген. 1-ден

$4n$ -ге дейінгі бүтін сандар төрт саннан тұратын

$n$ топқа бөлінген. Осы топтарда келесі шарттарды қанағаттандыратын кем дегенде

$\dfrac{(n-6)^2}{2}$

$(a, b, c, d)$ бүтін төрттіктері табылатынын дәлелдеңіз:
(i)

$1\le a < b < c < d\le 4n$ ;
(ii)

$a, b, c, d$ сандарының кез келген екеуі әртүрлі топта жатыр;
(iii)

$c - b\le |ad - bc|\le d - a$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №62. Бүтін

$n > 100$ саны берілген. 1-ден

$4n$ -ге дейінгі бүтін сандар төрт саннан тұратын

$n$ топқа бөлінген. Осы топтарда келесі шарттарды қанағаттандыратын кем дегенде

$\dfrac{(n-6)^2}{2}$

$(a, b, c, d)$ бүтін төрттіктері табылатынын дәлелдеңіз:
(i)

$1\le a < b < c < d\le 4n$ ;
(ii)

$a, b, c, d$ сандарының кез келген екеуі әртүрлі топта жатыр;
(iii)

$c - b\le |ad - bc|\le d - a$ . ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №63.

$a,b,m$ және

$k\ge 2$ натурал сандары берілген.

$\text{ЕҮОБ} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1$ болатындай шексіз көп натурал

$n$ сандарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$\varphi_1(n) = \varphi(n)$ — Эйлер функциясы, ол 1-ден

$n$ -ге дейін неше сан

$n$ санымен өзара жай екенін көрсетеді, ал барлық

$i\ge 1$ үшін

$\varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n))$ .

$[x]$ арқылы

$x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №64. Бүтін

$m\ge 3$ саны және мүшелер саны шексіз болатын

$(a_n)_{n\ge 1}$ натурал сандар тізбегі кез келген натурал

$n$ саны үшін

$a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}$ теңдігін қанағаттандырады.

$a_1 < 2^m$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №65. Кез келген натурал

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары үшін

$a^3b+1$ ,

$b^3c+1$ ,

$c^3a+1$ сандарының кемінде біреуі

$a^2+b^2+c^2$ санына бөлінбейтінін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №66. Бүтін

$m\ge 3$ саны және мүшелер саны шексіз болатын

$(a_n)_{n\ge 1}$ натурал сандар тізбегі кез келген натурал

$n$ саны үшін

$a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}$ теңдігін қанағаттандырады.

$a_1 < 2^m$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №67. Бүтін

$m\ge 3$ саны және мүшелер саны шексіз болатын

$(a_n)_{n\ge 1}$ натурал сандар тізбегі кез келген натурал

$n$ саны үшін

$a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1}$ теңдігін қанағаттандырады.

$a_1 < 2^m$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №68. Жай

$p\ge 3$ және натурал

$d$ саны берілген.

$d$ санымен өзара жай, әрі

$P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}$ көбейтіндісі

$p^n$ санына бөлінбейтіндей натурал

$n$ санының табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №69. Жай

$p\ge 3$ және натурал

$d$ саны берілген.

$d$ санымен өзара жай, әрі

$P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}$ көбейтіндісі

$p^n$ санына бөлінбейтіндей натурал

$n$ санының табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №70. Егер натурал

$x$ және

$y$ сандары бір-біріне бөлінбесе, бірақ екеуінің жай бөлгіштерінің жиыны бірдей болса, онда

$(x, y)$ сандар жұбын әдемі жұп деп атаймыз. Өзара жай болатын әртүрлі натурал

$a$ және

$b$ сандары берілген.

$(a^n+bm, b^n+am)$ жұбы әдемі жұп болатындай шексіз көп натурал

$n$ сандары бар екенін (әрі әр осындай

$n$ -ге

$m$ саны табылатынын) дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №71. Нақты оң

$x, y$ сандары мен натурал

$n$ саны үшін

$\left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor$ теңдігі орындалады.

$\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$ екенін дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$\lfloor t\rfloor$ арқылы

$t$ санының бүтін бөлігі, яғни

$t$ -дан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №72. Натурал

$b,M$ сандары мен жай

$p$ саны берілген. Натурал сандардан тұратын қатаң түрде өспелі

$a_1,a_2,\ldots$ тізбегінде, барлық бүтін

$n\ge 1$ саны үшін

$a_n^3+b$ саны

$a_{n+1}+a_n$ санына бөлінеді.

$Mp, (M+1)p,(M+2)p,\cdots$ сандарының ішінен шексіз

$a_1,a_2,\ldots$ тізбегінде кездеспейтін сан табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №73.

$2^a+3^b=5^c\cdot d$ және

$2^b+3^a=5^d\cdot c$ теңдіктері орындалатындай, барлық

$(a,b,c,d)$ натурал сандар төрттіктерін табыңыз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №74. Нақты оң

$x, y$ сандары мен натурал

$n$ саны үшін

$\left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor$ теңдігі орындалады.

$\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$ екенін дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$\lfloor t\rfloor$ арқылы

$t$ санының бүтін бөлігі, яғни

$t$ -дан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №75.

$2^a+3^b=5^c\cdot d$ және

$2^b+3^a=5^d\cdot c$ теңдіктері орындалатындай, барлық

$(a,b,c,d)$ натурал сандар төрттіктерін табыңыз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №76. Нақты оң

$x, y$ сандары мен натурал

$n$ саны үшін

$\left\lfloor\dfrac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\dfrac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor$ теңдігі орындалады.

$\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$ екенін дәлелдеңіз. (Бұл жерде

$\lfloor t\rfloor$ арқылы

$t$ санының бүтін бөлігі, яғни

$t$ -дан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада