Сатылханов К.

Есеп №1. Оң сандардан тұратын, қатаң өспелі және шексіз $\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі кез келген натурал $n$ үшін келесі шартты қанағаттандырады: \[{{a}_{n+2}}={{({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}})}^{\sqrt{n}}}+{{n}^{-\sqrt{n}}}.\] Кез келген $C > 0$ үшін, ${{a}_{m(C)}} > C$ шарты орындалатын $C$-ға тәуелді $m(C)$ саны табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Оң сандардан тұратын, қатаң өспелі және шексіз $\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі кез келген натурал $n$ үшін келесі шартты қанағаттандырады: \[{{a}_{n+2}}={{({{a}_{n+1}}-{{a}_{n}})}^{\sqrt{n}}}+{{n}^{-\sqrt{n}}}.\] Кез келген $C > 0$ үшін, ${{a}_{m(C)}} > C$ шарты орындалатын $C$-ға тәуелді $m(C)$ саны табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3. $\{{{a}_{n}}\}$ тізбегі келесі шарт бойынша анықталады: ${{a}_{1}}=2015$, ${{a}_{2}}={{2}^{2015}}$ және барлық натурал $n\ge 1$ үшін \[{a_{n + 2}} = {a_n} + \left\lceil {\dfrac{{{a_{n + 1}}}}{n}} \right\rceil .\] Кез келген $n\ge M$ үшін $n{{a}_{{{a}_{n}}}}+c$ саны толық дәреже болатындай, натурал $M$ және $c$ сандары табылатынын дәлелдеңіздер. Бұл жерде $\left\lceil x \right\rceil $ — ол $x$ санының жоғары бөлігі, яғни $x$-тен кем емес ең кіші бүтін сан. Егер қандай да бір $m > 1$ және $k > 1$ бүтін сандары үшін санды ${{m}^{k}}$ түрінде жазуға болса, онда ондай санды толық дәреже деп атайды. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4. Натурал $a$ саны берілген. Әрбір $m$ натурал саны үшін $n{{a}^{n}}+1$ санының бөлгіштер саны $m$-ға бөлінетіндей шексіз көп натурал $n$ саны табылатынын дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №5. Натурал $k$, $\ell$ және ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{k}}$ $\left( \ell \ge 2 \right)$ сандары берілген. Кез келген натурал $M$ саны үшін, $x$, $x+1$, $\dots$, $x+M-1$ сандарының әрқайсысы $a_i^n+m^{\ell}$ $\left( 1\le i\le k \right)$ түрінде келмейтіндей натурал $x$ саны табылатынын дәлелдеңіздер. Бұл жерде $n$ және $m$ теріс емес бүтін сандар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №6. Натурал $a$ саны берілген. Әрбір $m$ натурал саны үшін $n{{a}^{n}}+1$ санының бөлгіштер саны $m$-ға бөлінетіндей шексіз көп натурал $n$ саны табылатынын дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №7. Әрбір натурал $n$ саны үшін ${{\left( {{a}^{n}}+{{b}^{n}}+{{c}^{n}} \right)}^{2}}$ саны $ab+bc+ca$ санына бөлінетіндей қос-қостан өзара жай болатын барлық натурал $(a,b,c)$ үштіктерін табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №8. Барлық натурал $n$ үшін, ${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ және ${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ сандары өзара жай болатындай, натурал $a$ және $b$ сандары табылады ма? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №9. ${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{2014}}$ сандары — 1, 2, $\ldots$, 2014 сандарының қандай-да бір реттегі орын алмастыруы болсын. $a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$, $a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$, $\ldots$, $a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$, $a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша толық квадрат бола алады? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №10. Барлық натурал $n$ үшін, ${{a}^{n}}+{{n}^{b}}$ және ${{b}^{n}}+{{n}^{a}}$ сандары өзара жай болатындай, натурал $a$ және $b$ сандары табылады ма? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №11. Нақты $a$, $b$, $c$, $d$ сандары келесі шарттарды қанағаттандырады:
i) $a \ne b$, $b\ne c$, $c\ne d$, $d\ne a$;
ii) $\dfrac{1}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( b-c \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( c-d \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( d-a \right)}^{2}}}=1$.
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}$ өрнегінің ең кіші мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №12. Бүтін $n \ge 1$ сан мен оң нақты ${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{n}}$ сандары берілген. $s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$ болсын. Әр $i = 1, 2, \ldots, n$ үшін, ${{a}_{i}}^{2} > i{{a}_{i}}+s$ теңсіздігі орындалатыны белгілі. $2s > 3{{n}^{2}}$ теңсіздігін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №13. Егер $p, q, m, n$ натурал сандар және $p$ мен $q$ жай болса, онда $ \left( {{2^p} - {p^2}} \right)\left( {{2^q} - {q^2}} \right) = {p^m}{q^n}$ теңдігінің мүмкін емес екенін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №14. $\{a_n\}_{n=1,2, \ldots}$ тізбегі келесі жолмен анықталған: $$a_1 = 1, ~{a_n} = \dfrac{{{a_{\left[ {n/2} \right]}}}}{2} + \dfrac{{{a_{\left[ {n/3} \right]}}}}{3} + \ldots + \dfrac{{{a_{\left[ {n/n} \right]}}}}{n}.$$ Кез келген натурал $n$ саны үшін, $a_{2n} < 2a_n$ екенін дәлелдеңдер. Бұл жерде $[x]$ — $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №15. $(m^n - 1)$ саны $k^m$ санына, $(n^m - 1)$ саны $k^n$ санына бөлінетіндей барлық $(m, n, k)$ натурал үштіктерін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №16. Тақтада 1, 2, $\ldots$, 25 сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш $a$, $b$ және $c$ сандарын өшіріп, олардың орнына $a^3+b^3+c^3$ қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан $2013^3$ бола алмайтынын көрсетіндер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №17. $ABC$ үшбұрышының $AD$, $BE$ және $CF$ биссектриссалары болсын. $M$ және $N$ арқылы сәйкесінше $DE$ және $DF$ кесінділерінің ортасын белгілейік. Егер $\angle BAC\ge 60^\circ$ болса, онда $BN+CM\le BC$ екенін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №18. Тақтада 1, 2, $\ldots$, 25 сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш $a$, $b$ және $c$ сандарын өшіріп, олардың орнына $a^3+b^3+c^3$ қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан $2013^3$ бола алмайтынын көрсетіндер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(15) олимпиада

Есеп №19. $\left( {{a}_{n}} \right)$ тізбегі былайша анықталған: ${{a}_{1}}=4,$ ${{a}_{2}}=17$ және әрбір $k\ge 1$ үшін төмендегі қатынастар орындалады: $${{a}_{2k+1}}={{a}_{2}}+{{a}_{4}}+\ldots +{{a}_{2k}}+\left( k+1 \right)\left( {{2}^{2k+3}}-1 \right),$$ $${{a}_{2k+2}}=\left( {{2}^{2k+2}}+1 \right){{a}_{1}}+\left( {{2}^{2k+3}}+1 \right){{a}_{3}}+\ldots +\left( {{2}^{3k+1}}+1 \right){{a}_{2k-1}}+k.$$ ${{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{m}} \right)}^{{{2012}^{2012}}}}-1$ саны ${{2}^{{{2012}^{2012}}}}$-ге бөлінетіндей ең кіші $m$ санын табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №20. Әрбір $n\ge 1$ үшін ${{a}_{n+2}}=\sqrt{{{a}_{n+1}}}+{{a}_{n}}$ теңдігі орындалатындай оң бүтін сандардың ақырсыз $\left( {{a}_{n}} \right)$ тізбегі табыла ма? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №21. Оң нақты $a,b,c,d\in {{\mathbb{R}}^{+}}$сандарына келесі шарттар орындалсын:
a) $(a-c)(b-d)=-4$.
b) $\dfrac{a+c}{2}\ge \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}{a+b+c+d}$.
$a+c$ өрнегінің мүмкін болар ең кіші мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №22. Натурал $a$ және $b$ сандары берілген. Кез келген натурал $n$ саны үшін $f\left( n+a \right)$ саны $f\left( {\left[ {\sqrt n } \right] + b} \right)$ санына бөлінетіндей $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ функциясы берілсін. Кез келген натурал $n$ саны үшін, барлық $i=1,2, \dots ,n-1$ үшін $f\left( {{a}_{i+1}} \right)$ саны $f\left( {{a}_{i}} \right)$ санына бөлінетіндей, қос-қостан өзара тең емес және қос-қостан өзара жай болатын ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$ натурал сандарының табылатынын дәлелдеңіздер. (Бұл жерде $[x]$ — ол $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан; $\mathbb{N}$ — натурал сандар жиыны.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №23. Бір уақытта $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}=6$ және $\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}=32$ теңдіктері орындалатын нақты оң $a$, $b$, $c$, $d$ сандарының жоқ екенін дәлелдеңіз ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №24. Натурал $a$, $b$ және $c$ сандары үшін, натурал $n$ санының кез келген мәнінде $((a^n - 1)(b^n - 1)(c^n -1) + 1)^3$ саны $(abc)^n$ санына бөлінсін. Олай болса $a = b = c$ екенін дәлелдеңдер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №25. $a$, $b$ және $c$ сандары $[-2, 2]$ кесіндісіндегі сандар болсын. $|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|$ қосындысының ең үлкен мүмкін мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №27. Кез келген натурал $n$ саны үшін, $n = (a^2 - bc)(b, c) + (b^2 - ca)(c, a) + (c^2 - ab)(a, b)$ болатындай натурал $a$, $b$ және $c$ сандары табылатынын дәлелдеңдер. Бұл жерде $(a, b)$ — натурал $a$ және $b$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгіші. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №28. Әр $\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ және $\left\{ {{b}_{n}} \right\}_{n \geq 1}$ шексіз арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі мен алымы — өзара жай болатын натурал сандар. Кез келген натурал $n$ үшін, $$\left( a_n^2+a_{n+1}^2 \right)\left( b_n^2+b_{n+1}^2 \right) \quad \text{немесе} \quad \left( a_n^2+b_n^2 \right) \left( a_{n+1}^2+b_{n+1}^2 \right)$$ сандарының кемінде береуі толық квадрат екені белгілі. Олай болса, кез келген натурал $n$ үшін ${{a}_{n}}={{b}_{n}}$ екенін дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №29. $1$, $2$, $\ldots$, $2017$ сандарын келесі шарттарды қанағаттандыратын, әрқайсысы бос емес үш $A$, $B$ және $C$ жиындарына бөлуге болады ма: кез келген $a\in A$, $b\in B$ және $c\in C$ үшін, $ab+c$ және $ac+b$ сандарының ешқайсысы толық квадрат болмайтын сандар? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №30. $\left| 3{{a}^{2}}-1 \right|\le 2b$ және $\left| 3{{b}^{2}}-2 \right|\le a$ теңсіздіктері орындалатындай нақты $a$ және $b$ сандары берілген. ${{a}^{4}}+{{b}^{3}}\le 2$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №31. $100\times 100$ тақтаның әр шаршысына $1,2,\ldots,100$ сандарының біреуі жазылған; және тақтада осы сандардың әрқайсысы 100 реттен кездеседі. Тақтаның кез келген жолын немесе бағанын сызық деп атайық. Бір жүрісте сандарының қосындысы 100-ден үлкен кез келген сызықты алып, осы сызықтағы сандардың бәрін нөлге теңестіруге болады. Егер бірнеше жүрістен кейін әр жолдағы сандардың қосындысы 100-ден аспаса, онда тақтада нөлге тең емес ең көп дегенде қанша сан қалуы мүмкін? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №32. $1$, $2$, $\ldots$, $2017$ сандарын келесі шарттарды қанағаттандыратын, әрқайсысы бос емес үш $A$, $B$ және $C$ жиындарына бөлуге болады ма: кез келген $a\in A$, $b\in B$ және $c\in C$ үшін, $ab+c$ және $ac+b$ сандарының ешқайсысы толық квадрат болмайтын сандар? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №33. Кез келген нақты $x$ және $y$ сандары үшін $\left| y-f\left( f\left( x \right) \right)\left| \ge \right|f{{\left( x \right)}^{2}}+xf\left( y \right) \right|$ теңсіздігін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} $ функцияларын табыңыздар. Бұл жерде $\mathbb{R}$ — нақты сандар жиыны. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №34. $100\times 100$ тақтаның әр шаршысына $1,2,\ldots,100$ сандарының біреуі жазылған; және тақтада осы сандардың әрқайсысы 100 реттен кездеседі. Тақтаның кез келген жолын немесе бағанын сызық деп атайық. Бір жүрісте сандарының қосындысы 100-ден үлкен кез келген сызықты алып, осы сызықтағы сандардың бәрін нөлге теңестіруге болады. Егер бірнеше жүрістен кейін әр жолдағы сандардың қосындысы 100-ден аспаса, онда тақтада нөлге тең емес ең көп дегенде қанша сан қалуы мүмкін? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №35. ${{a}^{b}}+b$ және ${{b}^{a}}+a$ қосындыларының әрқайсысы ${{2}^{2017}}$-не бөлінетіндей $a,b < {{2}^{2017}}$ болатын барлық тақ натурал $\left( a,b \right)$ жұптарын табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №36. Нақты $x,y,z\ge \frac{1}{2}$ сандары үшін ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ теңдігі орындалады. Сол сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $$\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z} \right)\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge 2.$$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №37. Шексіз, қатаң түрде өспелі $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ натурал сандар тізбегі ${{a}_{{{a}_{n}}}}\le {{a}_{n}}+{{a}_{n+3}}$ шартын қанағаттандырады, бұл жерде $n$ — натурал сан. $k < l < m$ теңсіздігі мен ${{a}_{k}}+{{a}_{m}}=2{{a}_{l}}$ теңдігі орындалатындай шексіз көп $\left( k,l,m \right)$ натурал үштіктері бар екенін дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №38. $[1,{{10}^{6}}]$ аралығында жатқан кез келген 42 сандардың ішінен, сол сандардың кез келген $\left( a,b,c,d \right)$ орын ауыстыруы үшін $$25\left( ab+cd \right)\left( ad+bc \right)\ge 16{{\left( ac+bd \right)}^{2}}$$ теңсіздігі орындалатындай төрт сан таңдап алуға болатынын дәлелдеңіздер. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №39. $N$ — натурал сандар жиыны болсын. Кез келген натурал $m$, $n$ сандары үшін $f(f(m)f(n)+m)=f(mf(n))+f(m)$ шартын қанағаттандыратын барлық кемімейтін $f: \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №40. $\mathbb{N}$ — барлық натурал сандар жиыны болсын. Кез келген натурал $m$, $n$ сандары үшін $2f(mn)\ge f({{m}^{2}}+{{n}^{2}})-f{{(m)}^{2}}-f{{(n)}^{2}}\ge 2f(m)f(n)$ теңсіздіктерін қанағаттандыратын барлық $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыздар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №41. $a$, $b$ және $c$ сандары $[-2, 2]$ кесіндісіндегі сандар болсын. $|a^2 - bc + 1| + |b^2 - ca + 1| + |c^2 - ab + 1|$ қосындысының ең үлкен мүмкін мәнін табыңдар. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №42. ${{a}_{1}}, {{a}_{2}}, \ldots, {{a}_{2014}}$ сандары — 1, 2, $\ldots$, 2014 сандарының қандай-да бір реттегі орын алмастыруы болсын. $a_{1}^{2}+{{a}_{2}}$, $a_{2}^{2}+{{a}_{3}}$, $\ldots$, $a_{2013}^{2}+{{a}_{2014}}$, $a_{2014}^{2}+{{a}_{1}}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша толық квадрат бола алады? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №43. Докажите, что существует бесконечно много пар $(m, n)$ натуральных чисел таких, что число $(m!)^n+(n!)^m+1$ делится на $m+n$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №44. Пусть $\mathbb{R}^{+}$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ такие, что $$f\left(3{f\left(xy\right)}^2+\left(xy\right)^2\right)={(xf\left(y\right)+yf\left(x\right))}^2$$ для любых $x,y\in\mathbb{R}^{+}$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №45. $\mathbb{N}$ — множество натуральных чисел. Существует ли функция $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ такая, что для любых натуральных $m$ и $n$ выполнено равенство $f\left(mf\left(n\right)\right)=f\left(m\right)f\left(m+n\right)+n?$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №46. Даны натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$ такие, что числа $a$ и $b$ взаимно просты и $a > b.$ Известно, что число $c^2$ делится на $a^2+b$, а число $d^2$ делится на $a^2+b^2.$ Докажите, что $cd > 2a^2.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №47. Докажите, что для любых действительных чисел $a,b,c\in(0,1)$ выполняется неравенство $\left(\sqrt2a-bc\right)\left(\sqrt2b-ca\right)\left(\sqrt2c-ab\right)\le\frac{1}{8}.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №48. Докажите, что для любых действительных чисел $a,b,c,d\in(0,1)$ выполняется неравенство $\left(ab-cd\right)\left(ac+bd\right)\left(ad-bc\right)+\min{\left(a,b,c,d\right)} < 1.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №49. Дано множество $S = \{ xy\left( {x + y} \right)\; |\; x,y \in \mathbb{N}\}$. Пусть $a$ и $n$ натуральные числа такие, что $a+2^k\in S$ для каждого $k=1,2,\ldots,n.$ Найдите наибольшее возможное значение $n.$ ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №50. Әр натурал сан дәл бір рет қана кездесетін және кез келген натурал $n$ саны үшін $\tau(na_{n+1}^n+\left(n+1\right)a_n^{n+1})$ саны $n$ санына бөлінетіндей $a_1,a_2,\ldots$ натурал сандар тізбегі бар ма? ($\tau(n)$ саны — $n$ санының натурал бөлгіштерінің саны). ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №51. Әрбір $1\le i < j \le 99$ үшін $ia_j+ja_i\ge i+j$ теңсіздіктері орындалатындай $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_{99}$ нақты оң сандары берілген. $(a_1+1)(a_2+2)\ldots (a_{99}+99) \ge 100!$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №52. $n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ және $m^4 \ | \ 2n^5 + 1$ шарттары орындалатындай барлық натурал $(m, n)$ сандар жұптарын анықтаңыз. Бұл жерде $a \ | \ b$ өрнегі $a$ саны $b$ санын бөледі дегенді білдіреді. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №53. $n^4 \ | \ 2m^5 - 1$ және $m^4 \ | \ 2n^5 + 1$ шарттары орындалатындай барлық натурал $(m, n)$ сандар жұптарын анықтаңыз. Бұл жерде $a \ | \ b$ өрнегі $a$ саны $b$ санын бөледі дегенді білдіреді. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №54. Шексіз және қатаң өспелі $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ натурал сандар тізбегі берілген. Барлық натурал $n$ саны үшін $a_n \leq n+2020$ екені және $n^3 a_n - 1$ саны $a_{n+1}$ санына бөлінетіні белгілі. Кез келген натурал $n$ үшін $a_n = n$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №55. $\varphi (a^n+n)=2^n$ теңдігі орындалатын барлық натурал $(a,n)$ жұптарын табыңыз. (Бұл жерде $\varphi(n)$ — Эйлер функциясы, яғни 1-ден $n$-ге дейінгі $n$ санымен өзара жай бүтін сандардың саны.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №56. $1 \le x_1, x_2, \ldots, x_n \le 160$ нақты сандары үшін, және кез келген $1 \le i < j < k \le n$ сандары үшін $x_i^2 + x_j^2 + x_k^2 \ge 2 (x_ix_j + x_jx_k + x_kx_i)$ теңсіздіктері орындалады. $n$ санының ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №57. $AB+AC > 3BC$ шарты орындалатындай $ABC$ үшбұрышы берілген. Осы үшбұрыштың ішінен $\angle ABP=\angle PBQ=\angle QBC$ және $\angle ACQ=\angle QCP=\angle PCB$ болатындай $P$ және $Q$ нүктелері белгіленген. $AP+AQ > 2BC$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №58. Кез келген $x,y\in {{R}^{+}}$ үшін $f{{\left( x \right)}^{2}}=f\left( xy \right)+f\left( x+f\left( y \right) \right)-1$ теңдігі орындалатындай барлық $f:{{R}^{+}}\to {{R}^{+}}$ функцияларын табыңыз. (Бұл жерде ${{R}^{+}}$ — оң нақты сандар жиыны.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(9) олимпиада

Есеп №59. Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышы берілген $(\angle BAD < 90^\circ)$. $AB$ және $AD$ сәулелерінен $K$ және $L$ нүктелері $KA=KD$, $LA=LB$ теңдіктері орындалатындай етіп сәйкесінше алынған. $N$ нүктесі $AC$ кесіндісінің ортасы болсын. Егер $\angle BNC=\angle DNC$ орындалса $\angle KNL=\angle BCD$ болатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №60. $a,b,m$ және $k\ge 2$ натурал сандары берілген. $$\text{ЕҮОБ} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1 $$ болатындай шексіз көп натурал $n$ сандарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде $\varphi_1(n) = \varphi(n)$ — Эйлер функциясы, ол 1-ден $n$-ге дейін неше сан $n$ санымен өзара жай екенін көрсетеді, ал барлық $i\ge 1$ үшін $\varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n))$. $[x]$ арқылы $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №61. Бүтін $n > 100$ саны берілген. 1-ден $4n$-ге дейінгі бүтін сандар төрт саннан тұратын $n$ топқа бөлінген. Осы топтарда келесі шарттарды қанағаттандыратын кем дегенде $\dfrac{(n-6)^2}{2}$ $(a, b, c, d)$ бүтін төрттіктері табылатынын дәлелдеңіз:
   (i) $1\le a < b < c < d\le 4n$;
   (ii) $a, b, c, d$ сандарының кез келген екеуі әртүрлі топта жатыр;
   (iii) $c - b\le |ad - bc|\le d - a$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №62. Бүтін $n > 100$ саны берілген. 1-ден $4n$-ге дейінгі бүтін сандар төрт саннан тұратын $n$ топқа бөлінген. Осы топтарда келесі шарттарды қанағаттандыратын кем дегенде $\dfrac{(n-6)^2}{2}$ $(a, b, c, d)$ бүтін төрттіктері табылатынын дәлелдеңіз:
   (i) $1\le a < b < c < d\le 4n$;
   (ii) $a, b, c, d$ сандарының кез келген екеуі әртүрлі топта жатыр;
   (iii) $c - b\le |ad - bc|\le d - a$. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №63. $a,b,m$ және $k\ge 2$ натурал сандары берілген. $$\text{ЕҮОБ} \left( \varphi_m(n), \left [\sqrt[k]{an+b} \right] \right ) = 1 $$ болатындай шексіз көп натурал $n$ сандарының табылатынын дәлелдеңіз. (Бұл жерде $\varphi_1(n) = \varphi(n)$ — Эйлер функциясы, ол 1-ден $n$-ге дейін неше сан $n$ санымен өзара жай екенін көрсетеді, ал барлық $i\ge 1$ үшін $\varphi_{i+1}(n) = \varphi(\varphi_i(n))$. $[x]$ арқылы $x$ санынан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.) ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №64. Бүтін $m\ge 3$ саны және мүшелер саны шексіз болатын $(a_n)_{n\ge 1}$ натурал сандар тізбегі кез келген натурал $n$ саны үшін \[a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1} \] теңдігін қанағаттандырады. $a_1 < 2^m$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №65. Кез келген натурал $a$, $b$, $c$ сандары үшін $a^3b+1$, $b^3c+1$, $c^3a+1$ сандарының кемінде біреуі $a^2+b^2+c^2$ санына бөлінбейтінін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №66. Бүтін $m\ge 3$ саны және мүшелер саны шексіз болатын $(a_n)_{n\ge 1}$ натурал сандар тізбегі кез келген натурал $n$ саны үшін \[a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1} \] теңдігін қанағаттандырады. $a_1 < 2^m$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №67. Бүтін $m\ge 3$ саны және мүшелер саны шексіз болатын $(a_n)_{n\ge 1}$ натурал сандар тізбегі кез келген натурал $n$ саны үшін \[a_{n+2} = 2\sqrt[m]{a_{n+1}^{m-1} + a_n^{m-1}} - a_{n+1} \] теңдігін қанағаттандырады. $a_1 < 2^m$ екенін дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №68. Жай $p\ge 3$ және натурал $d$ саны берілген. $d$ санымен өзара жай, әрі \[P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}\] көбейтіндісі $p^n$ санына бөлінбейтіндей натурал $n$ санының табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №69. Жай $p\ge 3$ және натурал $d$ саны берілген. $d$ санымен өзара жай, әрі \[P=\prod\limits_{1 \le i < j < p} {({i^{n + j}} - {j^{n + i}})}\] көбейтіндісі $p^n$ санына бөлінбейтіндей натурал $n$ санының табылатынын дәлелдеңіз. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1) олимпиада