Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2001 год

Натуральные числа 1, 2, 3, $\dots$ , 100 содержатся в объединении $N$ геометрических прогрессий (не обязательно с целыми знаменателями). Докажите, что $N\geq 31$. ( А. Голованов )