Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, III тур дистанционного этапа

Вася хочет несколько раз выписать в строчку число 12345 так, чтобы получившееся многозначное число делилось на 41. Какое наименьшее число раз ему нужно это сделать? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

$12345=3×5×823=k$ Будем рассматривать остатки чисел на $41, k\equiv 1 (mod 41)$

$1234512345=100001k\equiv2k (mod 41)$

$123451234512345=10000100001k=100001×100000k+k\equiv3k (mod 41)$

Можно заметить сколько $"12345"$ используется столько и остатка от деление на $41$. Значить надо написать 41 раз $"12345"$. Ответ$:41 раз$