Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, III тур дистанционного этапа

Вася, пайда болған көптаңбалы сан 41-ге бөлінетіндей етіп, бір қатарға 12345 санын бірнеше рет тізіп жазғысы келеді. Ол ойын жүзеге асыру үшін кемінде осы санды неше рет тізіп жазуы керек? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Ответ:41

наше число представимо в виде: $12345(10⁰+10^5+...+10^{5k})$

чтобы оно делилось на 41, нужно что бы сумма десяток делилась на 41, так как 12345 не делится на 41.

Заметим, что любая десятка при целом $n$ которое делится на 5

$10^n=1 (mod 41)$

значит нам нужно 41 экземпляров 12345.