қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2011 год
Задача №1. Красные, синие и зеленые дети встали в круг. Когда учительница
попросила поднять руку красных детей, рядом с которыми стоит зеленый
ребенок, руку подняли 20 человек. А когда она попросила поднять руку синих
детей, рядом с которыми стоит зеленый ребенок, руку подняли 25 человек.
Докажите, что рядом с кем-то из поднимавших руку стоит сразу два зеленых
ребенка.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Сколькими способами из клетчатого квадрата $2011\times2011$ можно вырезать
квадрат $11\times11$ так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на
доминошки?
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Вневписанная окружность треугольника $ABC$ касается его стороны
$AB$ в точке $P$, а продолжений сторон $AC$ и $BC$ — в точках $Q$
и $R$ соответственно. Докажите, что если середина $PQ$ лежит на
описанной окружности треугольника $ABC$, то и середина $PR$ тоже
лежит на этой описанной окружности.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Докажите, что среди 100000 последовательных стозначных чисел найдется
$n$, такое что длина периода десятичной записи числа ${1\over n}$
больше 2011.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Все числа, большие 1, покрашены в два цвета (оба цвета использованы).
Докажите, что существуют такие вещественные $a$ и $b$, что числа $a+b$ и $ab$
покрашены в разные цвета.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекает его диагонали
$AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$
соответственно. Прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ — в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельно $CD$.
(
А. Акопян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Дано слово более чем из 10 букв, в котором любые две соседние буквы
различны. Докажите, что можно поменять местами две соседние буквы так,
чтобы полученное слово не было периодическим (не разбивалось на одинаковые подслова).
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №8. Герцог Квадратный завещал своим трех сыновьям квадратное поместье 100 на 100 км, разделенное на
10000 квадратных участков со стороной 1 км. Для раздела наследства он указал каждому сыну по точке
внутри поместья и завещал ему те участки, расстояния от центров которых до этой точки меньше,
чем расстояния до точек его братьев. В результате все поместье оказалось разделено между сыновьями.
Верно ли, что независимо от выбора точек доля каждого сына окажется связной (то есть между любыми двумя точками одной доли существует путь, не выходящий за границы этой доли).
(
А. Акопян
)
комментарий/решение
комментарий/решение