Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2011 год

Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекает его диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ — в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельно $CD$. ( А. Акопян )

Комментарий/решение

Утверждения:$AQPB$ вписанный

Док-во:Т.к. $AEFB$ вписанный $\Rightarrow \angle EAF=\angle EBF$, $ABCD$ вписаннный

$\Rightarrow \angle DAC=\angle DBC \Rightarrow \angle QAP=\angle QBP$ и смотрят на онду дугу $QP$

Тогда $\angle QAB=\angle QPC$ Т.к $ABCD$ вписанный $\angle DCP=\angle 180-\angle QAB \Rightarrow \angle DCP=\angle 180-\angle QPC$ Ч.т.д