Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2011 жыл

Іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышының $A$ және $B$ төбелері арқылы өтетін шеңбер, оның $AC$ және $BD$ диагоналдарын сәйкесінше $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $AF$ және $BC$ түзулері $P$ нүктесінде, ал $BE$ және $AD$ түзулері $Q$ нүктесінде қиылысады. $PQ$ кесіндісі $CD$ кесіндісіне параллель екенін дәлелдеңіз. ( А. Акопян )

Комментарий/решение

Утверждения:$AQPB$ вписанный

Док-во:Т.к. $AEFB$ вписанный $\Rightarrow \angle EAF=\angle EBF$, $ABCD$ вписаннный

$\Rightarrow \angle DAC=\angle DBC \Rightarrow \angle QAP=\angle QBP$ и смотрят на онду дугу $QP$

Тогда $\angle QAB=\angle QPC$ Т.к $ABCD$ вписанный $\angle DCP=\angle 180-\angle QAB \Rightarrow \angle DCP=\angle 180-\angle QPC$ Ч.т.д